Về một bài toán dãy số quen thuộc

[buigiahuy0]

Cho dãy số được xác định như sau:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = a \in (0,1)\\
{u_{n + 1}} = \sqrt[9]{{\frac{{{u_n} + k}}{{k{u_n} + 1}}}}
\end{array} \right.\].Chứng minh dãy có giơi hạn bằng 1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi buigiahuy0

Cho dãy số được xác định như sau:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = a \in (0,1)\\
{u_{n + 1}} = \sqrt[9]{{\frac{{{u_n} + k}}{{k{u_n} + 1}}}}
\end{array} \right.\].Chứng minh dãy có giơi hạn bằng 1

$k$ là gì?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buigiahuy0]

Nguyên văn bởi Galois_vn

$k$ là gì?

k là 1 số thực tùy ý
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi buigiahuy0

k là 1 số thực tùy ý

Với $k=-1$, ta kết luận như thế nào?


Ta sẽ chứng minh kết luận đúng với $k\ge 0$.

TH1: $0\le k\le 1$.
Nhận xét: với $u\in [0,1)$, ta có $1\ge\frac{u+k}{ku+1} \ge u\ge 0$.

Do đó $1\ge \sqrt[9]{\frac{u+k}{ku+1} }\ge \frac{u+k}{ku+1} \ge u$.
Khi đó dãy là dãy tăng và bị chặn trên. Do đó nó có giới hạn và gọi giới hạn là u.
Ta có
$u^9(ku+1)=u+k $ suy ra $u=1$.

TH2: $k>1$.
Ta có hàm số $f(x)=\frac{x+k}{kx+1}$ là hàm giảm trên $(0, \infty)$.
Vì $u_1\in [0,1)$ nên $u_2>1$, ... và $u_{2k}>1>u_{2k+1}, \forall k \in \mathbb{N}.$

Tiếp theo, ta chứng minh dãy chỉ số chẵn là dãy giảm và dãy chỉ số lẻ là dãy tăng.
Nhờ vào tính đơn điệu giảm của $f(x)$ mà ta chỉ cần c/m $u_<u_3$ là đủ.
Vì $u_3<1$ nên ta chỉ cần c/m $u_1< u_3^{9}$.
Hay $\frac{u_2^{9}-k}{ku_2^{9}-1} \le \frac{u_2+k}{ku_2+1}$.
(Chú ý: $u_2^9 \ge k$. )
Bằng cách biến đổi tương đương, ta có được điều phải chứng minh.

Do đó tồn tại hai số thực $0<a\le 1\le b$ sao cho
$a= \lim_{k\to\infty} u_{2k+1}$ và $b= \lim_{k\to\infty} u_{2k}.$

Hơn nữa, $a, b$ thỏa hệ
\[\begin{cases} a^9(kb+1)=b+k,\\
b^9(ka+1)=a+k.\end{cases}\]
Ta suy ra $a=b=1$.
(ĐPCM)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]