Bất đẳng thức tích phân

[caubemetoan96]

Cho $f$ là một hàm liên tục trên $[a,b]$. Chứng minh rằng:
$(\int^{b}_{a}f(x)dx)^2 \le (b-a)\int^{b}_{a}(f(x))^2dx$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[portgas_d_ace]

Bất đẳng thức này là hệ quả của bđt Bunhia dạng tích phân thôi bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[caubemetoan96]

Nguyên văn bởi portgas_d_ace

Bất đẳng thức này là hệ quả của bđt Bunhia dạng tích phân thôi bạn.

Em đã cố gắng giải nhưng không ra. Mong anh chỉ giáo
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi caubemetoan96

Em đã cố gắng giải nhưng không ra. Mong anh chỉ giáo

Ta chứng minh bất đẳng thức sau:
$$\left(\int_a^b fg dx \right)^2 \leq \int_a^b f^2 dx\, \int_a^b g^2 dx.$$
Nếu $\int_a^b f^2 dx =0$ thì $f(x) =0$ với mọi $x$, do đó bất đẳng thức đúng.

Nếu $\int_a^b f^2 dx =0$, khi đó với mọi $t\in R$, ta có
$$t^2 \int_a^b f^2 dx -2t \int_a^b fg dx + \int_a^b g^2 dx = \int_a^b(tf -g)^2 dx \geq 0.$$
Chọn $t = \int_a^b fg dx / (\int_a^b f^2 dx)$, khi đó ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]