Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Giải Tích

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 05-07-2012, 05:25 PM   #1
ablrise
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Bài gởi: 16
Thanks: 1
Thanked 2 Times in 2 Posts
Hai bài chứng minh hội tụ

Bài 1 Cho hàm số$f:\left [ a,b \right ]\to\left [ a,b \right ]$ thỏa mãn$\left | f\left ( x \right ) -f\left ( y \right )\leq \left | x-y \right |\right |,\forall x,y\in \left [ a,b \right ]$.Xét dãy$x_1\in\left [ a,b \right ],x_{n+1}=\frac{x_n+f\left ( x_n \right )}{2},\forall n\geq 1$.Chứng minh dãy $\left ( x_n \right )$ hội tụ.

Bài 2 cho hàm số liên tục $f:\left[ a,b \right]\to\left[ a,b \right]$ .Xét dãy số $x_1\in\left[ a,b \right],x_{n+1}=f\left( x_n \right),\forall n\geq 1$.Chứng minh rằng nếu dãy $\left( x_{n+1}-x_n \right)$ hội tụ đến $0$ thì dãy $\left( x_n \right)$ hội tụ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: thephuong, 05-07-2012 lúc 08:00 PM
ablrise is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-07-2012, 10:00 PM   #2
DuyLTV
Moderator
 
DuyLTV's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: LTVer
Bài gởi: 616
Thanks: 161
Thanked 234 Times in 157 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ablrise View Post
Bài 1 Cho hàm số$f:\left [ a,b \right ]\to\left [ a,b \right ]$ thỏa mãn$\left | f\left ( x \right ) -f\left ( y \right )\leq \left | x-y \right |\right |,\forall x,y\in \left [ a,b \right ]$.Xét dãy$x_1\in\left [ a,b \right ],x_{n+1}=\frac{x_n+f\left ( x_n \right )}{2},\forall n\geq 1$.Chứng minh dãy $\left ( x_n \right )$ hội tụ.

Bài 2 cho hàm số liên tục $f:\left[ a,b \right]\to\left[ a,b \right]$ .Xét dãy số $x_1\in\left[ a,b \right],x_{n+1}=f\left( x_n \right),\forall n\geq 1$.Chứng minh rằng nếu dãy $\left( x_{n+1}-x_n \right)$ hội tụ đến $0$ thì dãy $\left( x_n \right)$ hội tụ.
Bài 1 mình không biết cái $\left | f\left ( x \right ) -f\left ( y \right )\leq \left | x-y \right |\right |$ nghĩa là gì

Bài 2 theo mình thì dễ Dãy $\left( x_{n+1}-x_n \right)$ tiến về 0, tức là từ một n nào đó đủ lớn, thì $x_{n+1}=x_n$. Do $(x_n)$ là dãy chỉ nhận giá trị trên đoạn đóng $[a;b]$, nên nếu $x_n=k$, thì $x_{n+1}=k$. Vậy $(x_n)$ hội tụ về $k\in\left[a;b\right]$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
DuyLTV is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-07-2012, 10:04 PM   #3
thephuong
+Thành Viên Danh Dự+
 
thephuong's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2011
Đến từ: Biên Hòa-Đồng Nai
Bài gởi: 862
Thanks: 206
Thanked 503 Times in 295 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi duvily View Post
Bài 1 mình không biết cái $\left | f\left ( x \right ) -f\left ( y \right )\leq \left | x-y \right |\right |$ nghĩa là gì

Bài 2 theo mình thì dễ Dãy $\left( x_{n+1}-x_n \right)$ tiến về 0, tức là từ một n nào đó đủ lớn, thì $x_{n+1}=x_n$. Do $(x_n)$ là dãy chỉ nhận giá trị trên đoạn đóng $[a;b]$, nên nếu $x_n=k$, thì $x_{n+1}=k$. Vậy $(x_n)$ hội tụ về $k\in\left[a;b\right]$
Theo mình cách giải bài 2 sai, có thể chả bao giờ tồn tại n để $x_{n+1}=x_n$ cả. Nếu như dãy $\left( x_{n+1}-x_n \right)$ là dãy giảm và tiến về 0 thì sao, hay dãy tăng mà tiến về 0 cũng được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
You've set my heart soaring
Ma đáng yêu
thephuong is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-07-2012, 10:04 PM   #4
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi duvily View Post
Dãy $\left( x_{n+1}-x_n \right)$ tiến về 0, tức là từ một n nào đó đủ lớn, thì $x_{n+1}=x_n$.
Điều này được suy ra từ đâu?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-07-2012, 10:06 PM   #5
DuyLTV
Moderator
 
DuyLTV's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: LTVer
Bài gởi: 616
Thanks: 161
Thanked 234 Times in 157 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi novae View Post
Điều này được suy ra từ đâu?
Thì khi nó sấp xỉ 0, thì $x_{n+1}$ cũng sấp xỉ $x_n$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
DuyLTV is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-07-2012, 10:07 PM   #6
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi duvily View Post
Thì khi nó sấp xỉ 0, thì $x_{n+1}$ cũng sấp xỉ $x_n$
Xấp xỉ không có nghĩa là bằng nhé. Chú xem lại định nghĩa dãy hội tụ đi nhé

Lấy ví dụ dãy $x_n=\frac{1}{n}$ thì $\lim (x_{n+1}-x_n) = \lim \left( -\frac{1}{n(n+1)} \right) = 0$. Nhưng chẳng lẽ tồn tại $n$ sao cho $\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1}$?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.

thay đổi nội dung bởi: novae, 06-07-2012 lúc 10:12 PM
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-07-2012, 10:24 PM   #7
DuyLTV
Moderator
 
DuyLTV's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: LTVer
Bài gởi: 616
Thanks: 161
Thanked 234 Times in 157 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi novae View Post
Lấy ví dụ dãy $x_n=\frac{1}{n}$ thì $\lim (x_{n+1}-x_n) = \lim \left( -\frac{1}{n(n+1)} \right) = 0$. Nhưng chẳng lẽ tồn tại $n$ sao cho $\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1}$?

Không tồn tại n để $\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n+1}$ thôi anh, nhưng theo em thì vẫn tồn tại n để $\lim \dfrac{1}{n}=\lim \dfrac{1}{n+1}$
Trích:
Nguyên văn bởi thephuong View Post
Theo mình cách giải bài 2 sai, có thể chả bao giờ tồn tại n để $x_{n+1}=x_n$ cả. Nếu như dãy $\left( x_{n+1}-x_n \right)$ là dãy giảm và tiến về 0 thì sao, hay dãy tăng mà tiến về 0 cũng được
Điều này mình thấy có ảnh hưởng gì đâu nhỉ?

$n$ càng tăng thì $|x_{n+1}-x_n|$ càng giảm về 0, nghĩa khoảng chênh lệch giữa $x_{n+1}$ và $x_n$ càng giảm, đến một lúc mà $x_n \approx x_{n+1} \approx x_{n+2}...$ thì cho thấy tồn tại limit nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
DuyLTV is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-07-2012, 10:25 PM   #8
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi duvily View Post

Không tồn tại n để $\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n+1}$ thôi anh, nhưng theo em thì vẫn tồn tại n để $\lim \dfrac{1}{n}=\lim \dfrac{1}{n+1}$


Điều này mình thấy có ảnh hưởng gì đâu nhỉ?

$n$ càng tăng thì $|x_{n+1}-x_n|$ càng giảm về 0, nghĩa khoảng chênh lệch giữa $x_{n+1}$ và $x_n$ càng giảm, đến một lúc mà $x_n \approx x_{n+1} \approx x_{n+2}...$ thì cho thấy tồn tại limit nhỉ
Chú xem lại chú viết gì ở post #2 và được anh quote lại ở post #4 nhé

Điều chú vừa viết lại sai tiếp : $\lim \dfrac{1}{n}=\lim \dfrac{1}{n+1}$ là một đẳng thức đúng, và nó không phụ thuộc vào $n$ nên viết "tồn tại $n$..." là vô nghĩa.

Đúng là khoảng chênh lệch của nó giảm, nhưng không có nghĩa là cái khoảng chênh lệch đó có giá trị bằng 0 được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-07-2012, 10:27 PM   #9
DuyLTV
Moderator
 
DuyLTV's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: LTVer
Bài gởi: 616
Thanks: 161
Thanked 234 Times in 157 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi novae View Post
Chú xem lại chú viết gì ở post #2 và được anh quote lại ở post #4 nhé
Thế là em hiểu nhầm ý anh
------------------------------------------------------
Dạ, em đã hiểu. Phải sửa là sấp xỉ mới được
------------------------------
Em hay bị nhầm mấy cái này lắm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: DuyLTV, 06-07-2012 lúc 10:32 PM Lý do: Tự động gộp bài
DuyLTV is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-07-2012, 11:57 PM   #10
thephuong
+Thành Viên Danh Dự+
 
thephuong's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2011
Đến từ: Biên Hòa-Đồng Nai
Bài gởi: 862
Thanks: 206
Thanked 503 Times in 295 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi tranghieu95 View Post
Xét TH $|f(x)-f(y)|<|x-y|$
Do đó tồn tại $q \in (0;1)$ thỏa mãn $f(x)-f(y)\leq q|x-y|$
Xét hàm số: $g(x)=\dfrac{x+f(x)}{2}$ trên \left [ a,b \right ]
Ta có: $|g(x)-g(y)|=\left |\dfrac{x+f(x)}{2}-\dfrac{y+f(y)}{2} \right |=\left |\dfrac{x-y}{2}+\dfrac{f(x)+f(y)}{2} \right| \leq |x-y|$
$\Rightarrow |x_n-x_m|=|g_{n-1}-g_{m-1}|\leq q|x_{n-1}-x_{n-2}| \leq ... \leq q^m|x_{n-m}-x_0|$
$\Rightarrow |x_n-x_0|\leq |x_n-x_{n-1}|+|x_{n-1}-x_{n-2}|+...+|x_1-x_0|\leq (q^{n-1}+...+1)$
$\Rightarrow {x_n}$ bị chặn
$\Rightarrow$ tồn tại $N$ thỏa mãn $p^N|x_n-x_0|<\epsilon$ với $\epsilon$ là số dương bé tùy ý.
Do đó ${x_n}$ là dãy Cauchy nên ${x_n}$ hội tụ
Bài này có lẽ cần xem lại, theo mình thì ko thể xét trường hợp như tranghien được vì có quá nhiều trường hợp phải xét, điều này chỉ nên xét với mỗi bộ (x,y) nào đó thôi, với mọi x, y thì ko nên làm thế
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
You've set my heart soaring
Ma đáng yêu
thephuong is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:07 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 86.59 k/98.02 k (11.66%)]