Giải phương trình bằng phương pháp dùng bất đẳng thức

[Dirichlet]

Anh chị giải các bài pt này bằng phương pháp bất đẳng thức nha, anh chị vui lòng trình bày chi tiết cho em:
1) $\sqrt{3x^2+6x+7}+ \sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2 $
2) $\sqrt{x^2+6x+11}+\sqrt{x^2-6x+13}+\sqrt[4]{x^2-4x+5}=3+\sqrt{2} $
3) $(\sqrt{\sqrt{x^2-8x+7}+\sqrt{x^2-8x-9}})^{x}+(\sqrt{\sqrt{x^2-8x+7}-\sqrt{x^2-8x-9}})^{x}=2^{x+1} $
4) $19^{\sqrt{x-1}} + 5^{\sqrt[4]{x^2-1}}+95^{\sqrt[6]{x^2-3x+2}}=3 $
5) $\sqrt{5x^3+3x^2+3x-2}=\frac{x^2}{2}+3x-\frac{1}{2} $
6) $\frac{1}{10}(3x^3+x^2+9x-7)=(x^2+2)^2+(x^3+3x-3)^2 $
7) $x^2-3x=15=\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2-4x+5)} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[paul17]

Câu 1
Ta có $VT=\sqrt{3(x+1)^2+4}+\sqrt{(5(x+1)^2+9}\ge \sqrt{4}+\sqrt{9}=5$
Mặt khác $VP=5-(x+1)^2\le 5$
Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=-1$
Câu 2 Tương tự
$\sqrt{(x+3)^2+2}+\sqrt{(x-3)^2+4}+\sqrt[4]{(x-2)^2+1}\ge \sqrt{2}+2+1$
Nhưng bài này dấu bằng không xảy ra nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hikimaru]

Câu3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái suy ra đpcm.
chú ý:$(\sqrt{\sqrt{x^2-8x+7}+\sqrt{x^2-8x-9}})^{x}.(\sqrt{\sqrt{x^2-8x+7}-\sqrt{x^2-8x-9}})^{x}=4^{x} $
------------------------------
Câu 5: Ta có:$\sqrt{5x^3+3x^2+3x-2}=\sqrt{(5x-2)(x^2+x+1)}\leq \frac{5x-2+x^2+x-1}{2}=VP $
dấu = xảy ra khi $5x-2=x^2+x+1\leftrightarrow x=1 \vee x=3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Nguyên văn bởi Dirichlet

4) $19^{\sqrt{x-1}} + 5^{\sqrt[4]{x^2-1}}+95^{\sqrt[6]{x^2-3x+2}}=3 $

Dễ thấy $19^{\sqrt{x-1}} + 5^{\sqrt[4]{x^2-1}}+95^{\sqrt[6]{x^2-3x+2}} \ge 3$
Dấu "=" xảy ra khi $x=1$
------------------------------

Nguyên văn bởi Dirichlet

7) $x^2-3x+15=\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2-4x+5)} $

a) $x^2-3x+15=\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2-4x+5)} $
Theo AM-GM, ta có:
$\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2-4x+5)}\le \dfrac{2x^2-6x+7}{2}=x^2-3x+\dfrac{7}{2}$
$\Rightarrow 15\le \dfrac{7}{2}$ (vô lý)
b) $x^2-3x-15=\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2-4x+5)} $
$\Leftrightarrow x^2-3x-15=\sqrt{[(x-1)^2+1][(x-2)^2+1]}$
Theo BCS: $\sqrt{[(x-1)^2+1][(x-2)^2+1]}\ge (x-1)(x-2)+1$
$\Rightarrow -15\ge 3$ (vô lý)
Vậy phương trình vô nghiệm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[duongkien97]

Câu 6: Áp dụng BĐT BCS ta có: $\left ( 1 + 9 \right )\times \left [ \left ( x^{2} + 2\right )^{2} + \left ( x^{3} + 3x -3 \right )^{2}\right ]\leq \left ( 3x^{3} + x^{2} + 9x - 7\right )^{2} $
Đẳng thức xảy ra khi $ x = \frac{1}{9}\times \left ( -1-\frac{80}{\sqrt[3]{971 + 9\sqrt{17961}}} + \sqrt[3]{971 + 9\sqrt{17961}}\right ) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hikimaru]

Nguyên văn bởi duongkien97

Câu 6: Áp dụng BĐT BCS ta có: $\left ( 1 + 9 \right )\times \left [ \left ( x^{2} + 2\right )^{2} + \left ( x^{3} + 3x -3 \right )^{2}\right ]\leq \left ( 3x^{3} + x^{2} + 9x - 7\right )^{2} $
Đẳng thức xảy ra khi $ x = \frac{1}{9}\times \left ( -1-\frac{80}{\sqrt[3]{971 + 9\sqrt{17961}}} + \sqrt[3]{971 + 9\sqrt{17961}}\right ) $

Với nghiệm x này thì VT âm thì phải nên ptrinh này vô nghiệm!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Dirichlet]

Nguyên văn bởi hikimaru

Câu3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái suy ra đpcm.
chú ý:$(\sqrt{\sqrt{x^2-8x+7}+\sqrt{x^2-8x-9}})^{x}.(\sqrt{\sqrt{x^2-8x+7}-\sqrt{x^2-8x-9}})^{x}=4^{x} $
------------------------------
Câu 5: Ta có:$\sqrt{5x^3+3x^2+3x-2}=\sqrt{(5x-2)(x^2+x+1)}\leq \frac{5x-2+x^2+x-1}{2}=VP $
dấu = xảy ra khi $5x-2=x^2+x+1\leftrightarrow x=1 \vee x=3 $

Anh giải chi tiết cho em bài 3 đi, em không hiểu
------------------------------

Nguyên văn bởi JokerNVT

Dễ thấy $19^{\sqrt{x-1}} + 5^{\sqrt[4]{x^2-1}}+95^{\sqrt[6]{x^2-3x+2}} \ge 3$
Dấu "=" xảy ra khi $x=1$
------------------------------

a) $x^2-3x+15=\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2-4x+5)} $
Theo AM-GM, ta có:
$\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2-4x+5)}\le \dfrac{2x^2-6x+7}{2}=x^2-3x+\dfrac{7}{2}$
$\Rightarrow 15\le \dfrac{7}{2}$ (vô lý)
b) $x^2-3x-15=\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2-4x+5)} $
$\Leftrightarrow x^2-3x-15=\sqrt{[(x-1)^2+1][(x-2)^2+1]}$
Theo BCS: $\sqrt{[(x-1)^2+1][(x-2)^2+1]}\ge (x-1)(x-2)+1$
$\Rightarrow -15\ge 3$ (vô lý)
Vậy phương trình vô nghiệm

Anh giải chi tiết cho em bài mũ đi, em không hiểu, anh trình bày ngắn gọn quá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hikimaru]

Bài mũ hiển nhiên quá rồi: $a^x\geq1 $ với $a>0, x\geq 0 $
Bài 3: Ta có $VT\geq 2\sqrt{(\sqrt{\sqrt{x^2-8x+7}+\sqrt{x^2-8x-9}})^{x}.(\sqrt{\sqrt{x^2-8x+7}-\sqrt{x^2-8x-9}})^{x}}=2\sqrt{4^{x}}=2^{x+1}=VP $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Dirichlet]

Nguyên văn bởi JokerNVT

Dễ thấy $19^{\sqrt{x-1}} + 5^{\sqrt[4]{x^2-1}}+95^{\sqrt[6]{x^2-3x+2}} \ge 3$
Dấu "=" xảy ra khi $x=1$
------------------------------

a) $x^2-3x+15=\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2-4x+5)} $
Theo AM-GM, ta có:
$\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2-4x+5)}\le \dfrac{2x^2-6x+7}{2}=x^2-3x+\dfrac{7}{2}$
$\Rightarrow 15\le \dfrac{7}{2}$ (vô lý)
b) $x^2-3x-15=\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2-4x+5)} $
$\Leftrightarrow x^2-3x-15=\sqrt{[(x-1)^2+1][(x-2)^2+1]}$
Theo BCS: $\sqrt{[(x-1)^2+1][(x-2)^2+1]}\ge (x-1)(x-2)+1$
$\Rightarrow -15\ge 3$ (vô lý)
Vậy phương trình vô nghiệm

Mấy bài kia thì em hiểu hết, nhưng bài mũ số 4 ngắn gọn quá nên em không hiểu được. Anh giải chi tiết lại bài số 4 cho em đi. Em cảm ơn anh. Và thêm bài này nữa nha anh, giải giúp em luôn
$8x^2+\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{5}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[levanquy]

Bài 4 : ĐK: $x = 1$ hoặc $x\geq 2$
Nhận thấy x = 1 là nghiệm
Với $x\geq 2$ thì $19^{\sqrt{x-1}} \geq 19 $ các số hạng còn lại dương nên VT >3, do đó PT VN
Còn bài $8x^2+\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{5}{2}$ thì giải như sau:
Áp dụng Cauchy cho 5 số : một số $8x^2$ và 4 số $\frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{x}}$
Ta được
$8x^2+\sqrt{\frac{1}{x}}\geq \frac{5}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi và chi khi $\begin{cases}8x^2=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{x}}\\ x>0\end{cases}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[docvippro]

Tui làm ngắn gọn thui chứ bạn tự hiểu ik nhá.
1)VT >= 5 >= VP ( Phân tích cái trong căn đầu thành t^2+1. căn thứ 2 thành n^2 +9)
2)Làm Tương tự như 1) VT >= 3+ căn 2=VP
3)Đặt a= cái căn đầu tiên.b= cái căn thứ 2
=> a nhân b= 4^x. đến đây đơn giản r há
5) VT = căn ( (5x-2)(x^2+x+1) ). Đến đây cô si là <= (x^2+6x-1)/2 há (đpcm)
Bài 6 với bài 4 mình chưa nghĩ ra còn bài 7 bạn ghi sai nên mình k làm đc. ok ha
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]