Topic về hình học tổ hợp

[leeleex]

Mình đề nghị lập một topic riêng bàn về các bài toán hình học tổ hợp
(Mong admin cho chủ đề được dán lên cao)
Sườn nội dung:
1. Các bài toán liên quan tính lồi, bao lồi.
2. Các bài toán liên quan đường kính của hình, phủ hình.
3. Các bài toán cắt hình.
4. Các bài toán mặt phẳng kẻ ô vuông.
5. Các bài toán khác.
Mỗi mục sẽ tập hợp đề bài và lời giải các bài toán.
Lời giải nên cho vào "Hint" ngay dưới đề bài để tiện theo dõi.
Mong các bạn ủng hộ đóng góp nhiều lời giải hay.

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỌC TỔ HỢP
Phần 1. Các bài toán liên quan tính lồi, bao lồi
Bài 1. Cho 5 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh tồn tại 4 điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.
Bài 2. Chứng minh một đa giác là đa giác lồi khi và chỉ khi 4 đỉnh tùy ý của nó là các đỉnh của một tứ giác lồi.
Bài 3. Chứng minh một đa giác là đa giác lồi khi và chỉ khi mọi đường chéo của nó nằm hoàn toàn trong đa giác.
Bài 4. Chứng minh một đa giác là đa giác lồi khi và chỉ khi từ mọi điểm thuộc đa giác ta có thể nhìn thấy tất cả các cạnh của đa giác.
Bài 5. Trên mặt phẳng có n đa giác lồi đôi một cắt nhau. Chứng minh tồn tại một đường thẳng cắt tất cả các đa giác này.
Bài 6. Trên mặt phẳng có n đa giác lồi đôi một cắt nhau. Chứng minh nếu cho trước một phương tùy ý thì luôn tồn tại một đường thẳng có phương đã cho và cắt tất cả đa giác này.
Bài 7. Trên một đường tròn có n cung . Chứng minh nếu 2 cung bất kỳ trong chúng có giao khác rỗng thì giao của cả hệ khác rỗng.
Bài 8. Trên mặt phẳng có một họ các hình chữ nhật có các cạnh tương ứng song song. Chứng minh nếu giao hai hình bất kỳ khác rỗng thì giao của cả họ khác rỗng.
Bài 9. Trên mặt phẳng cho n hình tròn. Biết rằng có một đĩa tròn có tính chất nếu chọn 3 hình tròn tùy ý trong số các hình đã cho, luôn tìm được vị trí đặt đĩa cắt cả 3 hình tròn. Chứng minh tìm được vị trí đặt đĩa cắt tất cả các hình đã cho.
Bài 10. Cho 4 nửa mp lấp đầy mp. Chứng minh tồn tại 3 nửa mp trong 4 nửa mp lấp đầy mp.
Bài 11. Trên đường tròn đơn vị có họ các cung có độ dài nhỏ hơn $\pi $ , có tính chất giao 3 cung khác rỗng. Chứng minh giao họ các cung khác rỗng.
Bài 12. Trên mặt phẳng cho n điểm. Chứng minh tìm được điểm A, gần nó nhất có không quá 3 điểm có khoảng cách bằng d tới A.
Bài 13. Trên mặt phẳng cho một số n giác đều. Chứng minh bao lồi của chúng là một đa giác không ít hơn n đỉnh.
Bài 14. Trên mặt phẳng cho n điểm không cùng nằm trên 1 đường thẳng. Chứng minh tồn tại 3 điểm sao cho đường tròn đi qua nó không chứa điểm nào bên trong.
Bài 15. Bên trong hình vuông đơn vị cho n điểm. Chứng minh tồn tại tam giác có đỉnh trong số các điểm đã cho hoặc là đỉnh hình vuông, sao cho diện tích của tam giác là $S,S\le \frac{1}{2(n+1)} $.
Bài 16. Trên mặt phẳng cho n điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh có ít nhất $C^2_{n-3} $ tứ giác lồi có đỉnh trong số các điểm đã cho.
Bài 17. Trên mp cho 100 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Ta xét tất cả những khả năng tạo thành tam giác có đỉnh từ những điểm này. Chứng minh có nhiều nhất 70% số tam giác là tam giác nhọn.
Bài 18. Trên mặt phẳng cho điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng và không có 4 điểm nào nằm trên cùng 1 đường tròn. Chứng minh tồn tại một đường tròn qua 3 điểm của chúng và chứa bên trong đúng n điểm đã cho.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]