Đề thi chuyển hệ HKI trường ĐHSP Hà Nội

[chien than]

Ngày thi:16/1/2008
Thời gian:120 phút

Bài 1:
Cho các số $a;b;c $ thuộc tập hợp nghiệm của bất phương trình $|x^2-3x+3| \leq 1 $ và cho các số $m;n $ thuộc tập nghiệm của bất phương trình $|x^2-8x+19| \leq 4 $.Giả sử $a+b+c+m+n=12 $.Tìm giá trị lớn nhất của tích $abcmn $

Bài 2:
Tìm hàm số f:$Q \to R $ thỏa mãn các ĐK sau:
1)$f(x+y)-f(x)-f(y)=2008xy-2007 $ với mọi $x;y \in Q $
2)$f(1)=2007 $


Bài 3:
Cho số nguyên tố $p $ và số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện $np+1 $ là số chính phương.Chứng minh rằng $n+1 $ là tổng của $p $ số chính phương(các số chính phương này có thể bằng nhau)

Bài 4:
Cho tam giác $ABC $ không đều với trọng tâm $G $ và đường tròn nội tiếp $(I).M;N;P $ theo thứu tự là tiếp điểm của các đường tròn bàng tiếp đối diện với các đỉnh $A;B;C $ với các cạnh $BC;CA;AB $

1)Chứng minh rằng $AM;BN;CP $ và $GI $ đồng quy tại một điểm
2)Chứng minh rằng điểm đồng quy nói trong câu 1) thuộc đường tròn $(I) $ khi và chỉ khi
$3a=b+c $ hoặc $3b=c+a $ hoặc $3c=a+b $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[PDatK40SP]

Bài hình chắc ý các thầy muốn bọn em giải bằng vector. Nếu muốn giải thuần túy hình học cho cả hai câu hỏi thì có thể dựa theo một số nhận xét sau:
Cho $\triangle{ABC} $, đường tròn nội tiếp $(I) $ tiếp xúc $BC,CA,AB $ tại $D,E,F $
Nhận xét 1: $DI $ cắt $EF $ tại một điểm nằm trên đường trung tuyến kẻ từ $A $
Nhận xét 2: $DI $ cắt lại đường tròn $(I) $ tại một điểm nằm trên đường thẳng nối $A $ và điểm Nagel ( điểm đồng quy mà câu a ở đề nói tới )
Nhận xét 3: Xem bài post của anh ở [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[psquang_pbc]

Bài 3 nhé

Giả sử $np+1=k^2\Leftrightarrow (k-1)(k+1)=np $

TH 1. $p=2 $.Ta có $2n+1=k^2\longrightarrow k=2q+1\longrightarrow n+1=(q+1)^2+q^2 $

TH 2.$ p\ge 3 \longrightarrow $ hoặc $k+1 $ hoặc $k-1 $ chia hết cho $p $

Giả sử $p|k-1 $. Khi đó $k-1=ap $, $k+1=b $ với $ab=n $

Suy ra $b-ap=2 $

Hay $ab-pa^2=2a $

$\Leftrightarrow n+1=(p-1)a^2+(a+1)^2 $

Giả sử $p|k+1 $, tương tự
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mather]

Đặt
$g(x)=f(x)-1004x^2-2007 $
suy ra $g(x+y)=g(x)+g(y) $
suy ra $g(x)=g(1).x=-1004x $
suy ra$ f(x)=1004x^2-1004x+2007 $
(Chả hiểu sao khi thì mình lại bấm nhầm $g(1)=3010 $ :@) )
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mather]

Xét $K=[\frac{A}{-a+b+c},\frac{B}{a-b+c},\frac{C}{a+b-c}]=[\frac{A}{-a+b+c},\frac{M}{2a}] $
suy ra K thuộc AM tương tự K thuộc BN,CM
$K=[\frac{A}{-a+b+c},\frac{B}{a-b+c},\frac{C}{a+b-c}]=[[\frac{A}{a+b+c},\frac{B}{a+b+c},\frac{C}{a+b+c}],[\frac{A}{-2a},\frac{B}{-2b},\frac{C}{-2c}]]
=[\frac{G}{3(a+b+c)},\frac{I}{-2(a+b+c)}] $
suy ra K thuộc IG suy ra đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mather]

Từ giả thiết suy ra $a,b,c\in [1,2] $ và $m,n\in [3,5] $
$abcmn\le (\frac{a+b+c}{3})^3(\frac{m+n}{2})^2 $
đặt $\frac{a+b+c}{3}=x ; \frac{m+n}{2}=y $
trong đó $x\in [1,2] $ và $y\in [3,5] $



$\frac{9}{4}.x.x.x.(\frac{2}{3}y).(\frac{2}{3}y)\le \frac{9}{4}.(\frac{3x+\frac{4}{3}y}{5})^5\le 72 $
Từ đó có điều cần tìm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[psquang_pbc]

Thế tình hình thi cử thế nào mấy chú, có ai lên xuống hạng kô
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[PDatK40SP]

Hôm nay Khánh làm thế nào em
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dong1919]

bài 3 thử thay n+1 = n coi sao chứ n+1 thì
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mather]

Nguyên văn bởi PDatK40SP

Hôm nay Khánh làm thế nào em

Em làm cũng tạm anh ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mather]

4b)





Ta có $K=[\frac{G}{3},\frac{I}{-2}] $ suy ra $\vec{IK}=3 \vec{IG}=\vec{IA}+\vec{IB}+\vec{IC} $
K thuộc (I) khi và chỉ khi $r^2=\vec{IK}^2=(\vec{IA}+\vec{IB}+\vec{IC})^2=3(IA ^2+IB^2+IC^2)-a^2-b^2-c^2=3(3r^2+(p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2)-a^2-b^2-c^2 $
khi và chỉ khi $(3a-b-c)(3b-c-a)(3c-a-b)=0 $
suy ra điều phải cm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[PDatK40SP]

Em làm đúng rồi Em thử nghĩ cách làm bằng hình học xem, khá hay đấy
Câu a hôm trước trưa về vội, nhìn thấy đề chẳng nghĩ táng luôn cái bài tổng quát (nhận xét 3), đáng lẽ vị tự tâm $G $ là ra luôn, dại quá
P/s: Dạo này đuối quá , thôi post nốt bài này rồi nghỉ, tạm biệt diễn đàn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ohio]

Bài hình có trong TLCT Hình Học
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]