|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
21-01-2015, 11:04 AM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 47 Thanks: 2 Thanked 4 Times in 4 Posts | Bđt về hạng của ma trận Cho $A, B$ là 2 ma trận vuông cùng cỡ $n$. Chứng minh rằng $r(A+B) \leq r(A) + r(B) \leq n + r(AB)$. thay đổi nội dung bởi: novae, 21-01-2015 lúc 03:43 PM |
21-01-2015, 03:40 PM | #2 |
Super Moderator | Ta chứng minh bđt vế trái trước: \[rank\left( A \right) + rank\left( B \right) \geqslant rank\left( {A + B} \right)\] Gọi ${W_A}$ là không gian dòng của ma trận $A$. Khi đó ta có: \[\dim \left( {{W_A} + {W_B}} \right) = \dim {W_A} + \dim {W_B} - \dim \left( {{W_A} \cap {W_B}} \right) \Rightarrow \dim {W_A} + \dim {W_B} \geqslant \dim \left( {{W_A} + {W_B}} \right) \Rightarrow rank\left( A \right) + rank\left( B \right) \geqslant rank\left( {A + B} \right)\] Ta cm bđt vế phải: \[rank\left( A \right) + rank\left( B \right) - n \leqslant rank\left( {AB} \right)\] Giả sử $f,g$ là các ánh xạ tuyến tính nhận $A,B$ là các ma trận biểu diễn (trong cơ sở chính tắc) khi đó \[rank\left( A \right) + rank\left( B \right) - n \leqslant rank\left( {AB} \right) \Leftrightarrow rank\left( f \right) + rank\left( g \right) - n \leqslant rank\left( {fg} \right)\] Mặc khác: \begin{align*} rank\left( f \right) + rank\left( g \right) - n \leqslant rank\left( {fg} \right) &\Leftrightarrow \dim \left( {\operatorname{Im} f} \right) + \dim \left( {\operatorname{Im} g} \right) - n \leqslant \dim \left( {\operatorname{Im} \left( {fg} \right)} \right) \\ & \Leftrightarrow n - \dim \ker f + n - \dim \ker g - n \leqslant n - \dim \ker \left( {fg} \right) \\ & \Leftrightarrow \dim \ker \left( {fg} \right) \leqslant \dim \ker g + \dim \ker f \end{align*} Dễ thấy rằng $\ker g \leqslant \ker \left( {fg} \right)$. Gọi $B = \left\{ {{v_1},{v_2}, \ldots ,{v_r}} \right\}$ là cơ sở của $\ker g$. Theo đlý về cơ sở không toàn vẹn ta có thể bổ sung tập $B$ để thành cơ sở của $\ker \left( {fg} \right)$ là $B' = \left\{ {{v_1},{v_2}, \ldots ,{v_r},{v_{r + 1}}, \ldots ,{v_m}} \right\}$. Nhận thấy tập ${C = \left\{ {g\left( {{v_{r + 1}}} \right), \ldots ,g\left( {{v_n}} \right)} \right\}}$ là tập độc lập tuyến tính và ${C = \left\{ {g\left( {{v_{r + 1}}} \right), \ldots ,g\left( {{v_m}} \right)} \right\} \subset \ker \left( {f} \right)}$ do đó: \[\dim \ker \left( f \right) \geqslant m - r \Rightarrow \dim \ker \left( f \right) + \dim \ker g \geqslant m - r + r = \dim \ker \left( {fg} \right)\] Chứng minh hoàn tất. Bất đẳng thức vế phải còn gọi là bđt Sylvester __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị - thay đổi nội dung bởi: portgas_d_ace, 21-01-2015 lúc 03:56 PM |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|