Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Đại Số/Algebra

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 21-01-2015, 11:04 AM   #1
ka4
+Thành Viên+
 
ka4's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 47
Thanks: 2
Thanked 4 Times in 4 Posts
Bđt về hạng của ma trận

Cho $A, B$ là 2 ma trận vuông cùng cỡ $n$. Chứng minh rằng $r(A+B) \leq r(A) + r(B) \leq n + r(AB)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 21-01-2015 lúc 03:43 PM
ka4 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 21-01-2015, 03:40 PM   #2
portgas_d_ace
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Đến từ: HCMUS
Bài gởi: 506
Thanks: 160
Thanked 189 Times in 160 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới portgas_d_ace
Ta chứng minh bđt vế trái trước:
\[rank\left( A \right) + rank\left( B \right) \geqslant rank\left( {A + B} \right)\]
Gọi ${W_A}$ là không gian dòng của ma trận $A$. Khi đó ta có:
\[\dim \left( {{W_A} + {W_B}} \right) = \dim {W_A} + \dim {W_B} - \dim \left( {{W_A} \cap {W_B}} \right) \Rightarrow \dim {W_A} + \dim {W_B} \geqslant \dim \left( {{W_A} + {W_B}} \right) \Rightarrow rank\left( A \right) + rank\left( B \right) \geqslant rank\left( {A + B} \right)\]
Ta cm bđt vế phải:
\[rank\left( A \right) + rank\left( B \right) - n \leqslant rank\left( {AB} \right)\]
Giả sử $f,g$ là các ánh xạ tuyến tính nhận $A,B$ là các ma trận biểu diễn (trong cơ sở chính tắc) khi đó
\[rank\left( A \right) + rank\left( B \right) - n \leqslant rank\left( {AB} \right) \Leftrightarrow rank\left( f \right) + rank\left( g \right) - n \leqslant rank\left( {fg} \right)\]
Mặc khác:
\begin{align*}
rank\left( f \right) + rank\left( g \right) - n \leqslant rank\left( {fg} \right) &\Leftrightarrow \dim \left( {\operatorname{Im} f} \right) + \dim \left( {\operatorname{Im} g} \right) - n \leqslant \dim \left( {\operatorname{Im} \left( {fg} \right)} \right) \\
& \Leftrightarrow n - \dim \ker f + n - \dim \ker g - n \leqslant n - \dim \ker \left( {fg} \right) \\
& \Leftrightarrow \dim \ker \left( {fg} \right) \leqslant \dim \ker g + \dim \ker f
\end{align*}
Dễ thấy rằng $\ker g \leqslant \ker \left( {fg} \right)$. Gọi $B = \left\{ {{v_1},{v_2}, \ldots ,{v_r}} \right\}$ là cơ sở của $\ker g$. Theo đlý về cơ sở không toàn vẹn ta có thể bổ sung tập $B$ để thành cơ sở của $\ker \left( {fg} \right)$ là $B' = \left\{ {{v_1},{v_2}, \ldots ,{v_r},{v_{r + 1}}, \ldots ,{v_m}} \right\}$. Nhận thấy tập ${C = \left\{ {g\left( {{v_{r + 1}}} \right), \ldots ,g\left( {{v_n}} \right)} \right\}}$ là tập độc lập tuyến tính và ${C = \left\{ {g\left( {{v_{r + 1}}} \right), \ldots ,g\left( {{v_m}} \right)} \right\} \subset \ker \left( {f} \right)}$ do đó:
\[\dim \ker \left( f \right) \geqslant m - r \Rightarrow \dim \ker \left( f \right) + \dim \ker g \geqslant m - r + r = \dim \ker \left( {fg} \right)\]
Chứng minh hoàn tất. Bất đẳng thức vế phải còn gọi là bđt Sylvester
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
- Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị -

thay đổi nội dung bởi: portgas_d_ace, 21-01-2015 lúc 03:56 PM
portgas_d_ace is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:33 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 42.48 k/46.36 k (8.37%)]