Chọn đội tuyển VMO Bắc Giang 2017

thepduc · 22-10-2017, 11:05 PM

Câu 1 (4 điểm). Cho dãy số (un) được xác định như sau:
\[{{u}_{1}}=\frac{2018}{2017};\;\frac{{{u}_{1}}}{1}+ \frac{{{u}_{2}}}{2}+...+\frac{{{u}_{n}}}{n}=\frac{ n+1}{2}{{u}_{n}},\quad n=2,3,...\]
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {2017n + 2018} \right){u_n}}}{6}$.

Câu 2 (4 điểm). Cho $a;\, b;\, c$ là các số thực dương thoả mãn $ab + bc + ca = 3abc$. Chứng minh rằng
\[\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{a+b}}+\sqrt{\frac {{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{b+c}}+\sqrt{\frac{{{c}^{2}}+ {{a}^{2}}}{c+a}}+3\le \sqrt{2}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})\].
Câu 3 (5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là hình chiếu của D lên EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt nhau tại P, Q (P, C cùng phía so với AD).
a) Chứng minh rằng DI là đường phân giác của góc BIC.
b) Chứng minh rằng PH, DE cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 4 (4 điểm). Cho hàm số $f:{{\mathbb{N}}^{*}}\to {{\mathbb{N}}^{*}}$ thoả mãn điều kiện
i) với mọi $m, n \in{{\mathbb{N}}^{*}}$ ta có $f(m) + f(n) > mn$.
ii) Với mọi $m, n \in{{\mathbb{N}}^{*}}$ thì $f(m) + f(n) – mn$ là một ước của $mf(m) + nf(n)$.
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số nguyên tố $p > N$ thì $f(p) = p^2$.

Câu 5 (3 điểm). Cho bảng hình vuông gồm $m\times m$ ô vuông đơn vị. Trong mỗi ô vuông đơn vị chứa một số nguyên không âm. Giả sử rằng, nếu một hàng và một cột bất kì có giao là một ô vuông chứa số 0 thì tổng các số trên hàng đó cộng với tổng các số trên cột đó không bé hơn m. Chứng minh rằng tổng các số trên bảng ô vuông đó lớn hơn hoặc bằng $\dfrac{{{m}^{2}}}{2}$.

foollockholmes · 31-10-2017, 05:50 AM

Câu 3b) Gọi $G$ là giao của $HP$ và $DE$
ta có $\widehat{HPA}=180^{o}-\widehat{ABH}=180^{o}-\widehat{HDE}=\widehat{HDG} $
Vậy tứ giác $APDG$ nội tiếp $\Rightarrow HG.HP=HA.HD= HF.HC \Rightarrow FPCG$ nội tiếp
Gọi giao của $CH $ và $(O)$ là I, $HP$ với $(O)$ là $J$,
do $P$ thuộc đường tròn Euler nên ta có $P$ là trung điểm $HJ$, dễ thấy $F$ là trung điểm $HI \Rightarrow FP // IJ$ do đó tứ giác $IJCG$ nội tiếp, suy ra đpcm

foollockholmes · 31-10-2017, 12:02 PM

Bài 1: Từ giả thuyết ta có $\frac{n.u_{n-1}}{2}+\frac{u_n}{n}=\frac{n+1}{2}.u_{n} $
$ \Leftrightarrow n.u_{n-1}=\frac{(n-1)(n+2)}{n}u_n $ $ \Leftrightarrow \frac{(n+1)n}{n-1}. u_{n-1}=\frac{(n+1)(n+2)}{n}.u_n =6u_1$

**MATHSCOPE** · 31-10-2017, 05:09 PM

Trích:

Nguyên văn bởi luatghvn243

Thích nhất vẫn là câu view , còn hiện tại ghét nhất

Câu view gì hả bạn?

furin · 02-11-2017, 01:17 AM

Câu 5:

Trong tất cả các hàng và các cột (không giảm tổng quát), giả sử hàng X là hàng có nhiều số 0 nhất ( $k$ số 0 )
Suy ra hàng X có $m-k$ số khác không.

Xét cột Y ( cột mà giao với hàng X có chứa số $0$ ).
Giả sử cột Y có $x$ số khác không.
Khi đó, theo giả thiết thì $x+(m-k) \ge m \Rightarrow x \ge k$.
Tức là cột Y có ít nhất $k$ số khác không.
Có $k$ cột mà giao với hàng X chứa số $0$ nên $k$ cột này có tổng không nhỏ hơn $k^2$

Còn $m-k$ số khác không ở hàng X.
Theo điều đã giả sử ở trên là hàng X là hàng có nhiều số 0 nhất trong tất cả các hàng và cột.
Do đó, mỗi cột cũng sẽ có nhiều nhất $k$ số 0, tức là mỗi cột có ít nhất $m-k$ số khác không.
Có $m-k$ cột giao nhau với hàng X mà chứa số khác 0 nên tổng của tất cả các số trong $m-k$ cột này không nhỏ hơn $(m-k)^2$

Vậy tổng của tất cả các số trên bảng vuông $m \times m$ không nhỏ hơn $k^2+(m-k)^2$.
Theo bất đẳng thức Bunhia thì
$$k^2+(m-k)^2 \ge \frac{1}{2}(k+m-k)^2=\frac{m^2}{2}$$
Ta có đpcm.

22-10-2017, 11:05 PM	#1
thepduc +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2017 Bài gởi: 5 Thanks: 1 Thanked 1 Time in 1 Post	Chọn đội tuyển VMO Bắc Giang 2017 Câu 1 (4 điểm). Cho dãy số (un) được xác định như sau: \[{{u}_{1}}=\frac{2018}{2017};\;\frac{{{u}_{1}}}{1}+ \frac{{{u}_{2}}}{2}+...+\frac{{{u}_{n}}}{n}=\frac{ n+1}{2}{{u}_{n}},\quad n=2,3,...\] Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {2017n + 2018} \right){u_n}}}{6}$. Câu 2 (4 điểm). Cho $a;\, b;\, c$ là các số thực dương thoả mãn $ab + bc + ca = 3abc$. Chứng minh rằng \[\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{a+b}}+\sqrt{\frac {{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{b+c}}+\sqrt{\frac{{{c}^{2}}+ {{a}^{2}}}{c+a}}+3\le \sqrt{2}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})\]. Câu 3 (5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là hình chiếu của D lên EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt nhau tại P, Q (P, C cùng phía so với AD). a) Chứng minh rằng DI là đường phân giác của góc BIC. b) Chứng minh rằng PH, DE cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu 4 (4 điểm). Cho hàm số $f:{{\mathbb{N}}^{}}\to {{\mathbb{N}}^{}}$ thoả mãn điều kiện i) với mọi $m, n \in{{\mathbb{N}}^{}}$ ta có $f(m) + f(n) > mn$. ii) Với mọi $m, n \in{{\mathbb{N}}^{}}$ thì $f(m) + f(n) – mn$ là một ước của $mf(m) + nf(n)$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số nguyên tố $p > N$ thì $f(p) = p^2$. Câu 5 (3 điểm). Cho bảng hình vuông gồm $m\times m$ ô vuông đơn vị. Trong mỗi ô vuông đơn vị chứa một số nguyên không âm. Giả sử rằng, nếu một hàng và một cột bất kì có giao là một ô vuông chứa số 0 thì tổng các số trên hàng đó cộng với tổng các số trên cột đó không bé hơn m. Chứng minh rằng tổng các số trên bảng ô vuông đó lớn hơn hoặc bằng $\dfrac{{{m}^{2}}}{2}$.

31-10-2017, 12:02 PM	#3
foollockholmes +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2016 Bài gởi: 15 Thanks: 12 Thanked 7 Times in 7 Posts	Bài 1: Từ giả thuyết ta có $\frac{n.u_{n-1}}{2}+\frac{u_n}{n}=\frac{n+1}{2}.u_{n} $ $ \Leftrightarrow n.u_{n-1}=\frac{(n-1)(n+2)}{n}u_n $ $ \Leftrightarrow \frac{(n+1)n}{n-1}. u_{n-1}=\frac{(n+1)(n+2)}{n}.u_n =6u_1$

02-11-2017, 01:17 AM	#5
furin +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2013 Đến từ: Phú Thọ Bài gởi: 28 Thanks: 12 Thanked 27 Times in 16 Posts	Câu 5: Trong tất cả các hàng và các cột (không giảm tổng quát), giả sử hàng X là hàng có nhiều số 0 nhất ( $k$ số 0 ) Suy ra hàng X có $m-k$ số khác không. Xét cột Y ( cột mà giao với hàng X có chứa số $0$ ). Giả sử cột Y có $x$ số khác không. Khi đó, theo giả thiết thì $x+(m-k) \ge m \Rightarrow x \ge k$. Tức là cột Y có ít nhất $k$ số khác không. Có $k$ cột mà giao với hàng X chứa số $0$ nên $k$ cột này có tổng không nhỏ hơn $k^2$ Còn $m-k$ số khác không ở hàng X. Theo điều đã giả sử ở trên là hàng X là hàng có nhiều số 0 nhất trong tất cả các hàng và cột. Do đó, mỗi cột cũng sẽ có nhiều nhất $k$ số 0, tức là mỗi cột có ít nhất $m-k$ số khác không. Có $m-k$ cột giao nhau với hàng X mà chứa số khác 0 nên tổng của tất cả các số trong $m-k$ cột này không nhỏ hơn $(m-k)^2$ Vậy tổng của tất cả các số trên bảng vuông $m \times m$ không nhỏ hơn $k^2+(m-k)^2$. Theo bất đẳng thức Bunhia thì $$k^2+(m-k)^2 \ge \frac{1}{2}(k+m-k)^2=\frac{m^2}{2}$$ Ta có đpcm.