Giới hạn

tranhongviet · 03-11-2013, 05:20 PM

Cho dãy $x_{n+1}=x_{n}+\frac{\sqrt{x_{n}}}{n^{2}} $ với $x_{1}=a $ (a>0). Cm dãy có gh hữu hạn và tìm gh đó.

tranhongviet · 07-11-2013, 10:55 PM

Mọi người giúp mình bài này với

99 · 08-11-2013, 05:14 PM

Đầu tiên bạn đánh giá thô đã. Cứ tạm coi $x_n\geq 1$ cho tiện đã (còn nếu không như vậy thì bạn sửa chữa lại cách làm nhé, mình không muốn làm hộ bạn chuyện này).

Khi đó $x_{n+1}\leq x_n\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right),$ điều đó kéo theo $$x_{n+1}\leq x_1\prod_{j=1}^n(1+\dfrac{1}{j^2}).$$

Tới đây áp dụng đánh giá $1+x \leq e^x$ với $x \geq 0.$

Suy ra $$x_{n+1}\leq x_1 e^{\sum_{j=1}^n \frac{1}{j^2}}.$$ Vế phải của bất đẳng thức này là dãy hội tụ nên ta suy ra $x_n$ là dãy bị chặn, mà đây lại là dãy tăng, nên nó phải hội tụ.

Việc tính giới hạn thì mình không biết.

03-11-2013, 05:20 PM	#1
tranhongviet +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2013 Đến từ: ha noi Bài gởi: 227 Thanks: 53 Thanked 75 Times in 61 Posts	Giới hạn Cho dãy $x_{n+1}=x_{n}+\frac{\sqrt{x_{n}}}{n^{2}} $ với $x_{1}=a $ (a>0). Cm dãy có gh hữu hạn và tìm gh đó.

07-11-2013, 10:55 PM	#2
tranhongviet +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2013 Đến từ: ha noi Bài gởi: 227 Thanks: 53 Thanked 75 Times in 61 Posts	Mọi người giúp mình bài này với

08-11-2013, 05:14 PM	#3
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Đầu tiên bạn đánh giá thô đã. Cứ tạm coi $x_n\geq 1$ cho tiện đã (còn nếu không như vậy thì bạn sửa chữa lại cách làm nhé, mình không muốn làm hộ bạn chuyện này). Khi đó $x_{n+1}\leq x_n\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right),$ điều đó kéo theo $$x_{n+1}\leq x_1\prod_{j=1}^n(1+\dfrac{1}{j^2}).$$ Tới đây áp dụng đánh giá $1+x \leq e^x$ với $x \geq 0.$ Suy ra $$x_{n+1}\leq x_1 e^{\sum_{j=1}^n \frac{1}{j^2}}.$$ Vế phải của bất đẳng thức này là dãy hội tụ nên ta suy ra $x_n$ là dãy bị chặn, mà đây lại là dãy tăng, nên nó phải hội tụ. Việc tính giới hạn thì mình không biết.