|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
|
22-02-2012, 11:12 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2008 Bài gởi: 108 Thanks: 17 Thanked 58 Times in 32 Posts | Bài toán 10 là sự kết hợp của hai bổ đề: Bổ đề 1: Cho tam giác ABC có $A= 60^0 $. Khi đó, phân giác góc $A $ vuông góc với đường thẳng Euler của tam giác. Bổ đề 2: Cho tam giác $ABC $nội tiếp $(O). $Đường tròn $(I) $ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $BC, CA, AB $theo thứ tự ở $D, E, F $. Khi đó, $OI $ là đường thẳng Euler của tam giác $DEF $. |
23-02-2012, 06:46 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 41 Thanks: 79 Thanked 8 Times in 5 Posts | Bài 8:Giải phương trình $25x+9\sqrt{9x^{2}-4}=\frac{2}{x}+\frac{18x}{x^{2}+1} $ |
23-02-2012, 07:30 PM | #3 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: cyber world Bài gởi: 413 Thanks: 14 Thanked 466 Times in 171 Posts | Bài 9: (Gray Coding in Communication) Cho $N $ là một số nguyên dương. Hãy chứng minh a) Có thể điền các số từ $1, 2, ..., 2^N $ lên các đỉnh của một $2^N $ - giác đều, sao cho hai số đứng kề nhau có hiệu là một lũy thừa của 2. ( Chú ý số 1 cũng được xem là một lũy thừa của 2) b) Có thể điền các số từ $1,2,...,4^N $ lên các ô vuông đơn vị của một bảng $2^N\times 2^N $ sao cho hai số ở hai ô cạnh nhau thì có hiệu là một lũy thừa của 2. __________________ Traum is giấc mơ. |
24-02-2012, 10:33 AM | #4 | |
Administrator | Trích:
Để dự đoán, ta xếp thử vài trường hợp đơn giản: $N=2 $ thì: 1 3 2 4 Với $N=3 $ thì xếp tương tự theo vòng trên (hình dung đa giác theo chiều từ trái sang đến hết hàng thứ nhất rồi từ phải sang đến hết hàng thứ hai): 4 2 1 3 8 6 5 7 Như thế, ta có thể giải như sau: - Với $N=1 $, khẳng định hiển nhiên đúng. - Giả sử khẳng định đúng đến $N=K \ge 1 $ và ta đã xếp được $1, 2, 3, ..., 2^k $ theo thứ tự $a_1, a_2, a_3, ..., a_{2^k} $ trên đa giác $2^k $ cạnh thoả mãn đề bài. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử $a_{2^k} = 2^k} $. Ta cắt đa giác đó ngay tại số $2^k $ và đặt tất cả các số này lên đa giác $2^{k+1} $ cạnh với đúng thứ tự đó. Ta cần điền các số từ $2^k+1, 2^k+2,..., 2^{k+1} $ lên các vị trí còn lại. Ta điền các số lên, bắt đầu từ vị trí liền kề đầu mút là số $2^k $ theo thứ tự sau: $a_{2^k} + 2^k, a_{2^k-1} + 2^k, a_{2^k-2} + 2^k, ..., a_{1} + 2^k $. Nói chung là lấy đối xứng các số kia qua rồi công thêm $2^k $ vào từng số. Như thế, ta đã điền được $2^k $ còn lại vào đa giác $2^{k+1} $ cạnh và khẳng định đúng trong trường hợp $N=k+1 $. Theo quy nạp, ta có đpcm. b) Giải tương tự theo ý tưởng quy nạp. Đầu tiên, xếp các số vào bảng theo kiểu: 1 2 3 4 Sau đó xây dựng các bảng khác từ bảng con này theo đúng mô hình đó và chú ý lấy đối xứng qua như câu a ở trên. VD xây dựng bảng 4x4 như sau: 1 2 6 5 3 4 8 7 11 12 16 15 9 10 14 13 P/s: Không ai quan tâm bài TST 1990 hết à. Hix! __________________ Sự im lặng của bầy mèo | |
The Following User Says Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: | pco (03-03-2012) |
24-02-2012, 11:47 AM | #5 |
Administrator | Bài của Traum câu a) có thể phát biểu là: Chứng minh hình lập phương n chiều $Q^n $ có chu trình Hamilton. Từ đó ý tưởng quy nạp là rất rõ ràng. |
24-02-2012, 05:15 AM | #6 | |
Administrator | Trích:
Cách giải: 1) Chứng minh phương trình không có nghiệm x >0 (khá dễ dàng) 2) Chứng minh vế trái trừ vế phải là hàm giảm với x < 0 (cái này cũng không khó lắm) 3) Nhận xét $-\frac{\sqrt{2}}{2} $ là nghiệm của phương trình (cái này khó nhất) Các bạn cũng chú ý một chút về đánh số bài. Hiện giờ bắt đầu lộn xộn rồi. | |
24-02-2012, 11:45 AM | #7 |
Administrator Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 349 Thanks: 0 Thanked 308 Times in 161 Posts | Bài 10. Với mỗi số nguyên dương $n $ tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình : $x^2+15y^2=4^n $. Bài 11. Tìm tất cả các đa thức $P(x) $ hệ số nguyên thỏa mãn : $2^n|P(3^n) $, với mọi $n\in N* $. |
24-02-2012, 08:20 PM | #8 | ||
Administrator | Trích:
------------------------------ Trích:
Bài này còn có một cách dùng tâm đẳng phương như sau: (do Trần Hoàng Bảo Linh, HS 11 chuyên toán trường PTNK đề xuất) Nối dài BI cắt (O) tại D, CI cắt (O) tại E. Khi đó ta có EA = EI, DA = DI (tính chất quen thuộc). Suy ra ED là trung trực AI. Dùng góc (và điều kiện $A = 60^0 $) dễ dàng chứng minh được O, I, B, C cùng nằm trên 1 đường tròn (C1)và O, I, D, E cùng nằm trên một đường tròn (C2). Suy ra ED, OI, BC là các trục đẳng phương của (O) và (C2), (C1) và (C2), (O) và (C1) suy ra chúng đồng quy. | ||
24-02-2012, 09:56 PM | #9 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2010 Bài gởi: 193 Thanks: 195 Thanked 129 Times in 72 Posts | Em nghĩ câu b có bài 9 có thể quy nạp dựa vào câu a Với bảng $2^N\times2^N $ ta xét dãy đã xây dựng ở câu a với độ dài $2^{2N} $ Gọi các số hạng là $a_1,a_2,a_3,...,a_{2^{2N}} $ Ta sắp xếp các số vào bảng như sau: Ở hàng đầu tiên từ trái qua phải: $a_1,a_2,a_3,...,a_{2^N} $ Ở hàng thứ 2 từ phải sang trái: $a_{2^N+1}, a_{2^N+2},...,a_{2^{N+1}} $ Ở hàng thứ 3 từ trái sang phải ........... VD vơi bảng $4\times4 $ 4 2 1 3 8 6 5 7 16 14 13 15 12 10 9 11 Tương ứng với dãy: 4, 2, 3, 1, 5, 7, 6, 8, 16, 14, 13, 15, 11, 9, 10, 12. Dễ thấy cách xây dựng bảng này thỏa mãn do cách xây dựng dãy |
26-02-2012, 04:25 AM | #10 | ||
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2010 Đến từ: huyện lặng gió, tỉnh quan họ Bài gởi: 170 Thanks: 156 Thanked 87 Times in 50 Posts | Trích:
Trích:
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $x^2+y^2+x+y+1=xyz $ __________________ Giang hồ đẫm máu anh không sợ Chỉ sợ đường về vắng bóng em. | ||
26-02-2012, 06:34 AM | #11 | |
Administrator | Trích:
Chú ý là bài VMO yêu cầu chứng minh phương trình $x^2 + 15y^2 = 4^n $ có ít nhất n nghiệm tự nhiên. Trong số các nghiệm tự nhiên có 1 nghiệm với $xy = 0 $ là $(2^n, 0) $, do đó có ít nhất n-1 nghiệm nguyên dương (với $n \ge 2 $). Vấn đề của bài toán chemthan đặt ra là ngoài n-1 nghiệm này còn có nghiệm nào khác không?. (Xem lời giải VMO 2010 để biết cách xây dựng các nghiệm này). Chú ý là nếu ta chứng minh được chỉ có n-1 nghiệm thì có khả năng sẽ mô tả được tất cả các nghiệm. Quả là rất thú vị. Cảm ơn chemthan! | |
26-02-2012, 11:26 AM | #12 |
+Thành Viên+ | Bài 10: Theo em thì đáp số đúng là n-1 nghiệm nguyên dương, và ta cũng chỉ cần cm phương trình $x^{2}+15y^{2}=4^n $ có duy nhất nghiệm lẻ là đủ. Từ phương trình có nếu x,y là nghiệm lẻ thì (x-y)(x+y) chia hết cho 16, suy ra hoặc x-y, hoặc x+y là bội của 8. Giả sử có a,b,x,y nguyên dương lẻ mà $x^{2}+15y^{2}=4^n=a^{2}+15b^{2} $ Ta xét các trường hợp sau: +, $a\equiv b(mod8),x\equiv y(mod8) $ Khi đó $ay+bx\equiv 2(mod4) $ mà ta lại có $(ay+bx)(ax+15by)= (a^{2}+15b^{2})xy+ ab(x^{2}+15y^{2})=4^n(xy+ab) $ nên ax+by là bội của 4^n, dễ dàng xử lí bằng cauchy- schawz để có a=x, b=y +,$a\equiv- b(mod8),x\equiv -y(mod8) $, tương tự trên, vẫn có $ay+bx\equiv 2(mod4) $ +, cuối cùng, giả sử $a\equiv- b(mod8),x\equiv y(mod8) $ trường hợp này có thể lùi lại bằng 2 công thức trong bài VMO 2010, và suy ra pt $x^{2}+15y^{2}=4^(n-1) $ có 2 nghiệm lẻ phân biệt, vô lí. __________________ Quay về với nơi bắt đầu |
26-02-2012, 02:30 PM | #13 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Đến từ: ĐHSP Hà Nội, nhưng sau này sẽ là CHV Bài gởi: 15 Thanks: 0 Thanked 6 Times in 6 Posts | Trích:
Ta có $v_2(3^{2^n}-1)=n+1 $ (*) Mà $2^{2^n}\mid P(3^{2^n}) $ hay $2^{2^n}\mid(3^{2^n}-1)^kQ(3^{2^n}) $ Chọn $ n $ đủ lớn để $2^n>(n+1)k $ ta có: $2^{2^n-nk}\mid Q(3^{2^n}) $ Ta có:$2^{n+1}\mid Q(3^{2^n})-Q(1) $ Nên$ 2^{2^n-nk}\mid Q(1) $ Mà $2^n-nk \to +\infty $nên $Q(1)=0 $ hay $Q(x)=const $ vậy $P(x)=a(x-1)^k $ tiếp tục sử dụng (*) để biện luận $k $ là xong. __________________ 첸옥 H | |
26-02-2012, 06:19 PM | #14 |
Administrator | Gửi các bạn đang chuẩn bị cho Vietnam TST 2012 và các thành viên khác của diễn đàn bài viết nhỏ của tôi về nguyên lý cực hạn. Cũng xin được đóng góp bài này vào chuyên đề Tổ hợp của MS. Hy vọng là bài viết sẽ giúp ích được cho các bạn. Namdung |
The Following 13 Users Say Thank You to namdung For This Useful Post: | Anh Khoa (29-02-2012), anhdunghmd (26-02-2012), asdfghj (26-02-2012), batigoal (26-02-2012), huynhcongbang (26-02-2012), kimlinh (26-02-2012), mrvui123 (01-03-2012), ngocthi0101 (03-03-2012), nguyentatthu (26-02-2012), than-dong (06-03-2012), thinhptnk (01-03-2012), tvthuongvt (26-02-2012), vjpd3pz41iuai (29-02-2012) |
29-02-2012, 08:55 PM | #15 |
Administrator | Sau mấy ngày nghỉ ngơi do diễn đàn đóng cửa bảo trì, chúng ta quay lại với chủ đề này. Bài 13. (Hojoo Lee) Tìm tất cả các hàm số $f: R^{+} --> R^{+} $ thỏa mãn các điều kiện sau a) $f(x) + f(y) + f(z) + f(xyz) = f(\sqrt{xy})f(\sqrt{yz})f(\sqrt{zx}) $ với mọi x, y, z thuộc $R^{+} $ b) Nếu $1 \le x < y $ thì $f(x) < f(y) $ Bài 14. (VQB Cẩn) Cho các số thực $a_1, a_2, ..., a_n $ thỏa mãn điều kiện $a_1 + a_2 +...+ a_n = 0. $ Chứng minh rằng $ max_{1\le i \le n}(a_i^2) \le \frac{n}{3}\sum_{i=1}^{n-1}(a_i-a_{i+1})^2 $ thay đổi nội dung bởi: namdung, 29-02-2012 lúc 08:58 PM |
The Following 2 Users Say Thank You to namdung For This Useful Post: | gomis (01-03-2012), huynhcongbang (29-02-2012) |
Bookmarks |
|
|