Tìm tập thương trên quan hệ ~

[LongTime]

Cho $x \in \mathbb{R} $ và kí hiệu $[x] $ là phần nguyên của $x $. Ta định nghĩa quan hệ $x \sim y $ trên $\mathbb{R} $ như sau:

$x \sim y \Leftrightarrow [x]=[y] $.

Tìm tập thương $\mathbb{R}/_{\sim} $. (sau khi chứng minh ~ là quan hệ tương đương)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dongoc_nam]

Chắc là tập số nguyên Z.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LongTime]

Bạn có thể trình bày được ko ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tr.phuoctoan]

Nguyên văn bởi LongTime

Cho $x \in \mathbb{R} $ và kí hiệu $[x] $ là phần nguyên của $x $. Ta định nghĩa quan hệ $x \sim y $ trên $\mathbb{R} $ như sau:

$x \sim y \Leftrightarrow [x]=[y] $.

Tìm tập thương $\mathbb{R}/_{\sim} $. (sau khi chứng minh ~ là quan hệ tương đương)

Chứng minh ~ là quan hê tương đương
$\forall x;y;z \in \mathbb{R} $
1. $[x]=[x] \Rightarrow x \sim x $ : Tính phản xạ
2. $x \sim y \Rightarrow [x] = [y] \Rightarrow [y] = [x] \Rightarrow y \sim x $ : Tính đối xứng
3. $x \sim y; y \sim z \Rightarrow [x]=[y]=[z] \Rightarrow x\sim z $ : Tính bắc cầu
Tập thương
$\bar{x} = \left \{ y \in \mathbb{R} : y\sim x\right \} \Rightarrow \bar{x} = \left \{ y \in \mathbb{R} : [y]=[x]\right \}
\Rightarrow \bar x = \left \{ y\in \mathbb{R} : [x]\leqslant y<[x]+1 \right \} $
Vậy $\mathbb{R}/_{\sim}=\left \{ ...;\bar{-1};\bar{0};\bar{1} ;...\right \} $ Với $\bar n = \left \{ y\in \mathbb{R}, n \in \mathbb {Z} : n\leqslant y<n+1 \right \} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]