Đề thi chọn đội tuyển Olympic 30/4 lớp 10 trường THPT chuyên Trần Hưng Đạo

[nguyenquocthuy]

Thời gian: 180 phút
Bài 1: Tìm a,b,c là các số nguyên dương, trong đó a, b là các số nguyên tố, thỏa mãn phương trình sau:
a(a+3) +b(b+3) = c(c+3)

Bài 2: Giải phương trình:
$\sqrt[3]{3x-5}= 8x^3-36x^2+53x-25$

Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của AB và CD, AD và BC, AC và BD. Chứng mình rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OMN, ONP, OPM bằng nhau

Bài 4: Cho a,b,c >0 và thỏa mãn đẳng thức sau:
$\sum (\frac{a^5}{b+c}) = \frac{3}{2}$
Chứng minh $ab^2 + bc^2 + ca^2 \leq3$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoangngocbao]

Nguyên văn bởi nguyenquocthuy

Thời gian: 180 phút
Bài 2: Giải phương trình:
$\sqrt[3]{3x-5}= 8x^3-36x^2+53x-25$

Đặt $\sqrt[3]{3x-5}=2y-3$ ta có hệ
$\left\{\begin{matrix}8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 = 2y - 3 \\8y^3 - 36y^2 + 53y - 25 = 3x - y - 3 \end{matrix}\right.$
Đây là hệ gần đối xứng,cách giải giống hệ đối xứng loại II
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Idie9xx]

Nguyên văn bởi nguyenquocthuy

Bài 1: Tìm a,b,c là các số nguyên dương, trong đó a, b là các số nguyên tố, thỏa mãn phương trình sau:
$a(a+3) +b(b+3) = c(c+3)$ $(*)$

$(*) \Leftrightarrow a^2+b^2-c^2+3(a+b-c)=0 \Leftrightarrow (a+b+c+3)(a+b-c)=2ab$
Mà $a,b$ là số nguyên tố nên ta có $(a+b+c+3)+(a+b-c)=2a+b \Leftrightarrow a=3$
Thay $a=3$ vào $(*)$ ta được $18+b(b+3) = c(c+3) \Leftrightarrow 18=c^2-b^2+3(c-b) \Leftrightarrow 18=(c+b+3)(c-b) \Rightarrow (c+b+3)-(c-b)=9-2 \Leftrightarrow b=2,c=4$
Vậy $a,b,c$ lần lượt là 3,2,4 hoặc 2,3,4.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Conanvn]

Nguyên văn bởi nguyenquocthuy

Bài 4: Cho a,b,c >0 và thỏa mãn đẳng thức sau:
$\sum (\frac{a^5}{b+c}) = \frac{3}{2}$
Chứng minh $ab^2 + bc^2 + ca^2 \leq3$

Từ Gt, áp dụng bđt C-S:$$\dfrac{3}{2}=\sum{\dfrac{a^5}{b+c}}\ge \dfrac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(ab+bc+ca)}$$Áp dụng bđt Chebyshev và AM-GM, ta có$$\sum{a^3}\ge \dfrac{1}{3}\cdot (\sum{a^2})(\sum{a})\ge \dfrac{1}{3}\cdot (\sum{ab})\sqrt{3\sum{ab}}$$$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{3(a^3+b^3+c^3)^2}\ge ab+bc+ca$$Từ đó dễ dàng suy ra $$a^3+b^3+c^3\le3 \Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le3$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[triethuynhmath]

Nguyên văn bởi nguyenquocthuy

Thời gian: 180 phút
Bài 2: Giải phương trình:
$\sqrt[3]{3x-5}= 8x^3-36x^2+53x-25$

Câu này có vẻ đơn giản.
PT tương đương:
$\sqrt[3]{3x-5}=(2x)^3-3.(2x)^2.3+3.(2x).9-27-x+2\Leftrightarrow \sqrt[3]{3x-5}=(2x-3)^3-x+2\Leftrightarrow 3x-5+\sqrt[3]{3x-5}=(2x-3)^3+2x-3$
Đến đây xét hàm $f(t)=t^3+t\Rightarrow f(t)$ là hàm tăng. Mà:$f(2x-3)=f(\sqrt[3]{3x-5})\Rightarrow 2x-3=\sqrt[3]{3x-5}$ Đến đây xem như xong.
------------------------------

Nguyên văn bởi nguyenquocthuy

Thời gian: 180 phút
Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của AB và CD, AD và BC, AC và BD. Chứng mình rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OMN, ONP, OPM bằng nhau

Ý kiến về 1 cách của bài này:
Đây chỉ là bài toán "trá hình" của một bài toán vô cùng cơ bản của lớp 9. CHo tam giác $ABC$ trực tâm $H$. CMR: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC,HCA,HAB$ = nhau và = bán kính $R$ đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Xuất phát từ ý tưởng trên ta đi chứng minh $P$ là trực tâm tam giác $OMN$ là xong . Đây là một bổ đề khá quen thuộc và nhiều bạn biết . Đã từng xuất hiện trong đề thi HSG Quốc Gia năm $2012$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]