đề kiểm tra đội tuyển toán lớp 11 lần 2

[quocbaoct10]

Đề kiểm tra đội tuyển toán lớp 11 trường THPT chuyên Lê Qý Đôn-Khánh Hòa
1.
chứng minh rằng: với mỗi số nguyên dương $n$ luôn tồn tại duy nhất số thực $x_n$ sao cho $\frac{1}{2008^{x_n}}-x_n+n=0$. Xét dãy số $(x_n)$, tìm giới hạn: $\lim (x_{n+1}-x_n)$
2.
Giải phương trình: $3x^2+1+\log_{2006} \frac{4x^2+2}{x^6+x^2+1}=x^6$
3.
Cho $x,y$ là các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{x^3+x}{xy-1}$ là số nguyên dương. Chứng minh tồn tại $z$ sao cho $x+y+z=xyz$.
4.
Cho $n$ đường tròn giao nhau và chiếm trên mặt phẳng 1 diện tích bằng 1. Chứng minh có thể chọn ra 1 số đường tròn không giao nhau từng cặp mà tổng diện tích các hình trong này không nhỏ hơn $\frac{1}{9}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[let_wind_go]

Bài 3:
$(x,xy-1)=(y,xy-1)=1 \rightarrow y(x^2+1) \vdots xy-1$
$y(x^2+1)=x(xy-1)+x+y$
do đó $x+y \vdots xy-1 \rightarrow x+y=z(xy-1) \rightarrow x+y+z=xyz$

Bài 2:
Đặt $a=x^6+x^2+1$ và $b=4x^2+2$ ($a,b>1$) thì ta đc $a+log_{2006}{a}=b+log_{2006}{b}$
xét $f(x)=x+log_{2006}{x}, x>1$ thì $f'(x)>0$
do đó $a=b$ từ đó giải ra nghiệm bằng phương pháp lượng giác hóa

Bài 1:
$f_n(x)=\frac{1}{2008^x}-x+n$
cho $x \rightarrow +\infty$ thì $f_n(x) \rightarrow -\infty$
$x \rightarrow -\infty$ thì $f_n(x) \rightarrow +\infty$
$f_n(x)$ là hàm liên tục
$f'_n(x)<0$
từ đó pt $f_n(x)=0$ có nghiệm duy nhất là $x_n$

chú ý $x_n=n+\frac{1}{2008^{x_n}} > n \forall n$
do đó $x_n \rightarrow +\infty$ khi $n \rightarrow +\infty$
$x_{n+1}-x_n=1+\frac{1}{2008^{x_{n+1}}} - \frac{1}{2008^{x_n}}$
cho $n \rightarrow +\infty$ thì $VP \rightarrow 1$ do đó $VT \rightarrow 1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]