Chọn đội tuyển Trường chuyên Lương Thế Vinh

[mathandyou]

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN

Thời gian:150 phút

Bài 1:Giải hệ:$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x+2y+3}+\sqrt{2x+3y+23}=9 & & \\
\sqrt{18x+19y+20}+\sqrt{21x+22y+23}=27& &
\end{matrix}\right.$
Bài 2:Tìm tất cả giá trị $m$ để phương trình $mx^2+2cosx=2$ có đúng 2 nghiệm phân biệt trong $[0;\frac{\pi}{2}]$.
Bài 3:Cho $CD$ là dây cung của đường tròn $T_1$ và $AB$ là đường kính vuông góc với $CD$ tại $N$ của $(T_1)$,($AN>BN$).Một đường tròn $T_2$ có tâm là $C$ bán kính $CN$ cắt $T_1$ tại $P$ và $Q$.Đường thẳng $PQ$ cắt $CD$ tại $M$ và $AC$ tại $K$.$NK$ kéo dài cắt $T_2$ tại $L$.Chứng minh $PQ$ vuông góc với $AL$.
Bài 4:Trong không gian cho ba tia $Ox,Oy,Oz$ đôi một vuông góc với nhau.Lấy $A,B,C$ lần lượt di động trên tia $Ox,Oy,Oz$ sao cho $OA+OB+OC+AB+BC+CA=k$;$k>0$ không thay đổi.Tìm GTLN của thể tích tứ diện $OABC$.
Bài 5:Trong một thư viện người ta quan sát thấy được:
-Mỗi ngày có 5 người đọc sách.
-Hai ngày bất kì thì số người đọc sách là 9.
Hãy tính xem trong 1 tháng có bao nhiêu người đến đọc sách.Biết tháng đó có 30 ngày.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Phát biểu lại câu tổ hợp:
cho 30 tập $A_1,A_2,...,A_{30}$ thỏa
$|A_i|=5$ ($1\le i \le 30$)
$|A_i \cup A_j|=9$ ($1 \le i<j \le 30$)
tính số phần tử của $\cup_{i=1}^{30}A_i$.
lời giải
ta có $|A_i \cap A_j|=|A_i|+|A_j|-|A_i \cap A_j|=1$
vì $A_1$ có phần tử chung với 29 tập còn lại nên tồn tại phần tử a sao cho thuộc ít nhất 6 tập hợp khác ( nếu mỗi phần tử của A chỉ thuộc 5 tập thì số tập hợp bằng 5.5=25 < 30, vô lí).
vậy $a$ thuộc các tập $A_1,A_2,...,A_7$ .
ta chứng minh $a$ thuộc tất cả các tập còn lại.
VÌ 2 tập tùy ý không có phần tử chung nên các tập $A_1,A_2,...,A_7$ không có phần tử chung khác $a$.
Thật vậy, nếu tồn tại $A_k$ ($30 \ge k>7$) không chứa $a$ thì với mỗi $A_i$ ($1 \le i \le 7$), $B$ phải có phần tử chung $a_i$ khác $a$ và khác nhau với từng tập đó (nếu $a_i=a_j$ thì tồn tại 2 tập có 2 phần tử chung). Từ đấy, $A_k$ sẽ phải có ít nhất 7 phần tử (điều này vô lí). Do đó a thuộc $A_k$. VÌ $A_k$ là 1 tập bất kì trong $23$ tập còn lại nên $a$ thuộc 29 tập đã cho, từ đó $|\cup_{i=1}^{30}A_i|=(\sum_{i=1}^{30}(|A_i| -1)) +1=121$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luxubuhl]

Bài phương trình nhìn cái nghiệm chán luôn

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Csqrt%7Bx%2B2y%2B3%7D%2B%5Csqrt%7B2x%2B3y%2B2 3%7D%3D9+%3B+%5Csqrt%7B18x%2B19y%2B20%7D%2B%5Csqrt %7B21x%2B22y%2B23%7D%3D27

Bài này mình nghĩ là đặt 2 cái căn ở phương trình 1, rồi thế $x;y$ vào phương trình 2 theo biến mới. Mà số .....

VÃI

. Bạn nào chém hộ cái nhé !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[let_wind_go]

Bài 1 hệ số ở pt 1 liệu có phải là 4 chứ không phải 23 không nhỉ, nếu không bài này xấu và "trâu" quá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Nguyên văn bởi let_wind_go

Bài 1 hệ số ở pt 1 liệu có phải là 4 chứ không phải 23 không nhỉ, nếu không bài này xấu và "trâu" quá

đánh nhầm.4 đấy bạn.mà chả biết cái nút edit đâu rồi nên chả sửa được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]