Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Trần Phú - Hải Phòng năm học 2012 - 2013

[A Good Man]

Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng môn Toán chuyên năm 2012
Bài 1 (2đ)
1) Cho
$A= \frac {15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3} - \frac {3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} - \frac {2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3} $
Rút gọn A và tìm giá trị lớn nhất của A
2) Cho phuơng trình $x^2+ax+b=0$ có hai nghiệm là hai số nguyên dương. Biết a,b là hai số thực thoả mãn $5a+b=22$. Tìm hai nghiệm đó
Bài 2 (2đ)
1) Giải PT: $4x^2-6x+1=- \frac {\sqrt{3}}{3} \sqrt{16x^4+4x^2+1}$
2)Giải HPT: $\left\{\begin{matrix} 4x^2-x+\frac{1}{y}=1 & \\ y^2+y-xy^2=4 & \end{matrix}\right.$
Bài 3 (1đ)
Cho ba số dương a,b,c. CMR:
$\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{9c}{a+b}>4$

Bài 4 (3đ)
Cho tam giác nhọn $ABC (AB<AC)$ có trực tâm H, nội tiếp $(O)$, đường kính $AA’$. $AD$ là phân giác trong góc $BAC$ ($D$ nằm trên $BC$); $M,I$ lần lượt là trung điểm $BC, AH$
1) Láy $K$ là điểm đối xứng với $H$ qua đường thẳng $AD$. CMR: K nằm trên đương thẳng $AA’$
2) CMR: đường thẳng $IM$ đi qua hình chiếu vuông góc của H lên đường thằng $AD$
3) Gọi $P$ là giao điểm của $AD$ và $HM$. Đường thẳng $HK$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $Q,R$. CMR $Q,R$ lần lượt là chân đường vuông gọc hạ từ $P$ xuống $AB,AC$
Bài5 (2đ)
1) Tìm nghiêm nguyên của phương trình: $x^4+y^4+z^4=2012$
2 Cho một hình vuông có kích thước $12*12$ , được chia thành một lưới các hình vuông đơn vị. Mỗi đỉnh của các hình vuông đơn vị này được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Có tất cả 111 đỉnh màu đỏ. Hai trong số những điểm màu đỏ này nằm ở đỉnh của hình vuông lớn, 22 điểm màu đỏ khác nằm trên cạnh của hình vuông lớn (không trùng đỉnh hình vuông lớn). Các cạnh của các hình vuông đơn vị được tô màu theo luật sau : cạnh có hai đầu mút màu đỏ được tô màu đỏ; cạnh có hai đầu mút màu xanh được tô màu xanh, cạnh có một đầu mút màu đỏ và một đầu mút màu xanh thì được tô màu vàng. Giả sử có tất cả 66 cạnh vàng. Hỏi có bao nhiêu cạnh màu xanh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kien10a1]

Bài 5:
Câu 2,
Từ giả thiết ta thấy được có 2 điểm màu xanh ở 2 góc, và 22 điểm màu xanh trên các cạnh, còn lại là 34 điểm màu xanh nằm lọt trong hình vuông.
Với 312 cạnh của cả hình, ta cho điểm mỗi cạnh như sau: trong 2 mút của nó có i điểm màu xanh thì cho i điểm. Gọi tổng số điểm là $S $.
Ta có S= 2 (số cạnh xanh) + (số cạnh vàng)
Ta lại có thể đếm S theo một cách khác: mỗi điểm xanh ở góc là mút 2 đoạn, trên cạnh là mút của 3 đoạn, các điểm còn lại là mút của 4 đoạn.
Do vậy: $S= 2.2+22.3+34.4=206 $, suy ra số cạnh xanh là 70.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Đề này hay đấy vì có cả số học và tổ hợp.
Bài 5a Ta chỉ xét $a,b,c \geq 0 $
Rõ ràng chỉ có 2 TH xảy ra
Nếu a,b,c cùng chẵn thì VT chia hết cho 16, VP không chia hết cho 16 (LOẠI)
Nếu a chẵn, b,c lẻ thì loại luôn.
Vậy pt vô nghiệm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Nguyên văn bởi A Good Man

Bài 3 (1đ)
Cho ba số dương a,b,c. CMR:
$\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{9c}{a+b}>4$

Bài bđt quá dễ
$VT=(a+b+c)(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{4}{a+c}+\dfrac{9} {a+b})-14 $
Cauchy-Schwartz:
$(a+b+c)(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{4}{a+c}+\dfrac{9}{a+ b})\geq 18 $
$\Rightarrow VT\geq 18-14=4 $
Xét dấu "=" ta thấy dấu "=" không xảy ra.
Vậy $VT>4 $ (đpcm)
------------------------------

Nguyên văn bởi A Good Man

Bài 2 (2đ)
1) Giải PT: $4x^2-6x+1=- \frac {\sqrt{3}}{3} \sqrt{16x^4+4x^2+1}$ 2)Giải HPT: $\left\{\begin{matrix} 4x^2-x+\frac{1}{y}=1 & \\ y^2+y-xy^2=4 & \end{matrix}\right.$

1) Xét điều kiện Vế Trái. Bình phương 2 vế và rút gọn ta có phương trình: $16x^4-72x^3+64x^2+18x+1=0 $
Xét $x=0 $ không là nghiệm của phương trình
Xét $x\neq 0 $, chia cả 2 vế cho $x^2 $,ta có: 16x^2-72x+64+\dfrac{18}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0
Đặt $t=4x-\dfrac{1}{x}\Rightarrow t^2=16x^2+\dfrac{1}{x^2}-8. $ Vậy ta có:
$t^2-18t+72=0 $
2) Chia $y^2 $ cho cả 2 vế của phương trình (2).Đặt $t=\dfrac{1}{y} $, ta có:
$\left\{\begin{matrix} 4x^2-x+t=1 & \\ 4t^2-t+x=1 & \end{matrix}\right. $
Tới đây dễ rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[paul17]

Câu 2
1/ $4x^2-6x+1=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{16x^4+4x^2+1}$
Ta có $16x^4+4x^2+1=(4x^2+2x+1)(4x^2-2x+1)$
$4x^2-6x+1=2(4x^2-2x+1)-(4x^2+2x+1)$
Đặt $a=\sqrt{4x^2+2x+1};b=\sqrt{4x^2-2x+1}$
$\Rightarrow 4x^2-6x+1=2b^2-a^2$
Đến đây giải PT đẳng cấp bậc 2 là ổn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cry cry]

Nguyên văn bởi A Good Man

Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng môn Toán chuyên năm 2012
Bài 1 (2đ)
1) Cho
$A= \frac {15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3} - \frac {3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} - \frac {2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3} $
Rút gọn A và tìm giá trị lớn nhất của A
2) Cho phuơng trình $x^2+ax+b=0$ có hai nghiệm là hai số nguyên dương. Biết a,b là hai số thực thoả mãn $5a+b=22$. Tìm hai nghiệm đó
Bài 2 (2đ)
1) Giải PT: $4x^2-6x+1=- \frac {\sqrt{3}}{3} \sqrt{16x^4+4x^2+1}$
2)Giải HPT: $\left\{\begin{matrix} 4x^2-x+\frac{1}{y}=1 & \\ y^2+y-xy^2=4 & \end{matrix}\right.$
Bài 3 (1đ)
Cho ba số dương a,b,c. CMR:
$\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{9c}{a+b}>4$

Bài 4 (3đ)
Cho tam giác nhọn $ABC (AB<AC)$ có trực tâm H, nội tiếp $(O)$, đường kính $AA’$. $AD$ là phân giác trong góc $BAC$ ($D$ nằm trên $BC$); $M,I$ lần lượt là trung điểm $BC, AH$
1) Láy $K$ là điểm đối xứng với $H$ qua đường thẳng $AD$. CMR: K nằm trên đương thẳng $AA’$
2) CMR: đường thẳng $IM$ đi qua hình chiếu vuông góc của H lên đường thằng $AD$
3) Gọi $P$ là giao điểm của $AD$ và $HM$. Đường thẳng $HK$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $Q,R$. CMR $Q,R$ lần lượt là chân đường vuông gọc hạ từ $P$ xuống $AB,AC$
Bài5 (2đ)
1) Tìm nghiêm nguyên của phương trình: $x^4+y^4+z^4=2012$
2 Cho một hình vuông có kích thước $12*12$ , được chia thành một lưới các hình vuông đơn vị. Mỗi đỉnh của các hình vuông đơn vị này được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Có tất cả 111 đỉnh màu đỏ. Hai trong số những điểm màu đỏ này nằm ở đỉnh của hình vuông lớn, 22 điểm màu đỏ khác nằm trên cạnh của hình vuông lớn (không trùng đỉnh hình vuông lớn). Các cạnh của các hình vuông đơn vị được tô màu theo luật sau : cạnh có hai đầu mút màu đỏ được tô màu đỏ; cạnh có hai đầu mút màu xanh được tô màu xanh, cạnh có một đầu mút màu đỏ và một đầu mút màu xanh thì được tô màu vàng. Giả sử có tất cả 66 cạnh vàng. Hỏi có bao nhiêu cạnh màu xanh

Đáp án: [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sin038]

Bài 3 (1đ)
Cho ba số dương a,b,c. CMR:

$$\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{9c}{a+b}>4$ $

một cách khác dùng svac
$\frac{a^{2}}{ab+ac} +\frac{4b^{2}}{ab+bc}+\frac{9c^{2}}{ac+bc}\geq \frac{(a+2b+3c)^{2}}{2\left ( ab+bc+ca \right )} $
ta cm vế phải lớn hơn 4 biến đổi tương đương ta có
$a^{2}+4b^{2}+9c^{2}+4bc-4ab-2ab>0
\Leftrightarrow \left ( 2b+c-a \right )^{2}
+8c^{2}> 0 $
luôn đúng với a,b,c >0
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pco]

5. 1) Có thể dùng mod với $8 $, tức là $a^4 \equiv 0,1 \pmod 8 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hv4me]

Link die rồi anh ơi,post lại cho em anh ơi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cry cry]

Nguyên văn bởi hv4me

Link die rồi anh ơi,post lại cho em anh ơi

[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[davidhenrie]

Có anh, chị nào có lời giải đề này không ạ? Cho em xin với
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]