Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Hà Nội 2013 - 2014

[dung_toan78]

Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Hà Nội năm học 2013 - 2014

Bài I.

1). Tìm các số tự nhiên $n$ để $7^{2013}+3^{n}$ có chữ số hàng đơn vị là $8$.

2). Cho $a,b$ là các số tự nhiên lớn hơn $2$ và $p$ là số tự nhiên thỏa mãn $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$. Chứng minh $p$ là hợp số.

Bài II.

1). Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn

$x^{2} -3y^{2}+2xy-2x+6y-8=0$

2). Giải hệ phương trình:

$2x^{2}+xy+3y^{2} -2y-4=0$

$3x^{2} +5y^{2} +4x-12=0$

Bài III.
Với $a,b$ là các số thực thỏa mãn $a+b+4ab=4a^{2}+4b^{2}$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=$20(a^{3}+b^{3}) -6(a^{2}+b^{2})+2013$

Bài IV.
Cho tam giác $ABC$ không phải là tam giác cân. Đường tròn $(O)$ tiếp xúc với $BC, AC, AB$ lần lượt tại $M, N, P$. Đường thẳng $NP$ cắt $BO, CO$ tại $E, F$.

1). Chứng minh hai góc $ \widehat{OEN}$ và $\widehat{OCA}$ bằng nhau hoặc bù nhau.

2). Chứng minh bốn điểm $B, C, E, F$ cùng thuộc một đường tròn.

3). Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $OEF$. Chứng minh $O, M, K$ thẳng hàng.

Bài V.
Trong mặt phẳng cho $6$ điểm $A_{1} ;A_{2}...A_{6}$ trong đó ko có $3$ điểm nào thẳng hàng và trong $3$ điểm luôn có $2$ điểm có khoảng cách nhỏ hơn $671$. Chứng minh trong $6$ điểm đã cho luôn tồn tại ba điểm là ba đỉnh của một tam giác có chu vi nhỏ hơn $2013$.

Theo mình thấy, đề năm nay hay và khó hơn các năm trước.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]