Cực và đối cực

[dlt5]

Cực và đối cực là một phần nhỏ của hình học xạ ảnh của hình học cao cấp,tuy vậy một số tính chất của nó giúp chúng ta có thể giải một số bài toán sơ cấp đơn giản hơn cách thông thường rất nhiều
A.Hai điểm liên hợp
1.Định nghĩa: điểm $N $ được gọi là liên hợp đối với đường tròn $(O) $ nếu đường tròn đường kính $MN $ trực giao với đường tròn $(O) $
2.Ví dụ: Từ điểm $M $ ở ngoài đường tròn $(O) $ kẻ hai tiếp tuyến $MS,MT $ đối với $(O) $.Dễ thấy $S,T $ đều liên hợp với $M $ đối với $(O) $
3.Nhận xét:
+) Nếu $N $ liên hợp với $M $ đối với $(O) $ thì $M $ cũng liên hợp với $N $ đối với $(O) $ và ta nói
$M,N $ liên hợp với nhau đối với $(O) $.
+)Nếu đường thẳng $MN $ cắt đường tròn $(O) $ tại hai điểm $A,B $ thì cần và đủ để $M,N $ liên hợp với nhau đối với nhau đối với đường tròn $(O) $ là $(MNAB)=-1 $ (Tính chất của hai đường tròn trực giao)
B.Cực và đối cực
1.Bài toán: Cho đường tròn $(O) $ và điểm $M $ không truìng với $(O) $. Chứng minh rằng, tập hợp những điểm $N $ liên hợp với $M $ đối với đường tròn $(O) $ là một đường thẳng $m $ vuông góc với $OM $
2.Định nghĩa: Khi $M $ không trùng với $O $, đường thẳng $(m) $ nói trong bài toán trên gọi là đường đối cực của điểm $M $ đối với đường tròn $(O) $ và điểm $M $ gọi là cực của đường thẳng $m $ đối với đường tròn $(O) $
C.Bài tập áp dụng
1.Cho đường tròn (O) và đường thẳng $d $ cố định không trùng với $(O) $.Từ điểm $M $ trên $d $ ta kẻ hai tiếp tuyến $MA,MB $ tới $(O) $($A,B $ là hai tiếp điểm).
Chứng minh ràng, khi $M $ di động trên $d $ thì đường thẳng $AB $ luôn đi qua một điểm cố định.
2. Cho$\triangle ABC $.Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với $BC,CA,AB $ tại $D,E,F $.Giả sử $EF\cap BC=M $.Chứng minh $M $ là cực của đường thẳng $AD $.
Trên đây là hai bài làm quen.Bài tập khác sẽ được post và lần sau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

LỜI GIẢI BÀI 1:gọi cực của d đối với (O) là J.Vì d cố định nên J cô' định
d đi qua M nên đường đối cực của M đối với (O) sẽ đi qua J hayAB sẽ đi qua J (cố định )

LỜI GIẢI BÀI 2:Cực và đối cực xét với đường tròn nội tiếp.
gọi d là đường đối cực của M
EF đi qua M nên d sẽ đi qua cực của EF hay d đi qua A.
dễ thấy d đi qua D nên suy ra d là AD.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quangbynh]

1:gọi cực của d đối với (O) là J.Vì d cố định nên J cô' định
d đi qua M nên đường đối cực của M đối với (O) sẽ đi qua J hayAB sẽ đi qua J (cố định )

Gọi H là hình chiếu của O trên d. Khi đó J chính là giao điểm của (AB) và OH.
Theo cách thông thường: Gọi G là giao điểm của OM và (AB). Khi đó AB vuông góc OM tại G. Ta có:
OJ.OH = OG.OM = ${OA}^{2}= {R}^{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nguyên văn bởi quangbynh

Gọi H là hình chiếu của O trên d. Khi đó J chính là giao điểm của (AB) và OH.
Theo cách thông thường: Gọi G là giao điểm của OM và (AB). Khi đó AB vuông góc OM tại G. Ta có:
OJ.OH = OG.OM = ${OA}^{2}= {R}^{2} $

bài toán này khá quen thuộc, các bạn có thể xem thêm ở đây:
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]