Gợi ý: "Đánh giá từng biến"

[MathNMN2016]

Chào mọi người,

ở topic http://mathscope.org/showthread.php?t=50413, mình đã tổng hợp các bài toán (Bất đẳng thức) với tên gọi: "Đánh giá từng biến".

Ở từng topic riêng cho mỗi bài toán trong topic trên ngoài những trao đổi và một số bài toán đã có hướng tiếp cận, còn một số vẫn chưa có hướng tiếp cận, quan trọng hơn là lời giải cụ thể.

Trong topic này, mình sẽ đăng lại đề từng bài toán kèm theo những hướng dẫn cụ thể.

N.M.N

2016


------------------------------
Bài toán 1:


Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 \\
x+y+z=5
\end{matrix}\right. $

Chứng minh rằng:

$1\leq x, y, z\leq \frac{7}{3}. $

------------------------------
Lời giải:


Ta có:

$9-z^{2}=x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}=\frac{(5-z)^{2}}{2} $

$\Leftrightarrow 3z^{2}-10z+7\leq 0 $

$\Leftrightarrow 1\leq z\leq \frac{7}{3} $.

Tương tự, ta có điều phải chứng minh.


P/S:

Đây là ý tưởng gốc, lời giải cho những bài toán sau sẽ dựa trên bài toán này.



Bài toán đã từng trao đổi ở: [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Bổ sung:

Với yêu cầu đề bài, ta không cần chỉ ra bộ $(x,y,z) $ sao cho z đạt GTNN là 1 hay GTLN là $\frac{7}{3} $.

Nhưng, dễ thấy:

1) $z=1 $ khi và chỉ khi $x=y=2 $.

2) $z=\frac{7}{3} $ khi và chỉ khi $x=y=\frac{4}{3} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Bài toán 2:


Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix}
xy+yz+zx=\frac{3}{2} \\
xyz=\frac{1}{4}
\end{matrix}\right. $

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:

$P=x^{3}+y^{3}+z^{3}. $

------------------------------
Lời giải:


1. Ta có:

$P=(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz $

$ =t^{3}-\frac{9}{2}t+\frac{3}{4}. $

Với $t=x+y+z. $

2. Từ giả thiết, ta có:

$\frac{3}{2}=z(x+y)+xy\geq 2z\sqrt{xy}+xy=\sqrt{z}+\frac{1}{4z} $

$\Leftrightarrow 4z\sqrt{z}-6z+1\leq 0 $

$\Leftrightarrow \frac{1}{4}\leq z\leq \frac{2+\sqrt{3}}{2}. $

Đánh giá tương tự cho x và y.


3. Từ đó ta có:

1)

$(x-\frac{1}{4})(y-\frac{1}{4})(z-\frac{1}{4})\geq 0 $

$\Leftrightarrow x+y+z\geq \frac{9}{4}. $

2)

$(x-\frac{2+\sqrt{3}}{2})(y-\frac{2+\sqrt{3}}{2})(z-\frac{2+\sqrt{3}}{2})\leq 0 $

$\Leftrightarrow x+y+z\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}. $

4. Khảo sát hàm $f(t)=t^{3}-\frac{9}{2}t+\frac{3}{4} $ trên đoạn $[\frac{9}{4};\frac{3\sqrt{3}}{2}] $, ta tìm được Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $P (=f(t)) $:

1) $Min P=\frac{129}{64} $, đạt tại $(x,y,z)=(1;1;\frac{1}{4}) $ hoặc các hoán vị.

2) $Max P=\frac{6+27\sqrt{3}}{8} $, đạt tại $(x,y,z)=(\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{2+\sqrt{3}}{2}) $ hoặc các hoán vị.

P/S:

Ý số 3 trong lời giải trên là một trong những ý tưởng được sử dụng thường xuyên cho các bài toán tiếp theo.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Bài toán 3:


Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix}
x+y+z=4 \\
xy+yz+zx=5
\end{matrix}\right. $

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

1) $P=x $.

2) $Q=x^{3}+y^{3}+z^{3}. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Lời giải:

1) Ta có:

$5\leq \frac{(y+z)^{2}}{4}+x(y+z)=\frac{(4-x)^{2}}{4}+x(4-x) $

$\Leftrightarrow 3x^{2}-8x+4\leq 0 $

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}\leq x\leq 2. $

Kết luận:

* Giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{2}{3} $, xảy ra khi và chỉ khi $(x,y,z)=(\frac{2}{3};\frac{5}{3};\frac{5}{3}). $

* Giá trị lớn nhất của P là $2 $, xảy ra khi và chỉ khi $(x,y,z)=(2;1;1). $

2) Ta có:

$Q=(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz $

$ =3xyz+4. $

Tương tự ở 1) ta có $\frac{2}{3}\leq y,z\leq 2 $, suy ra:

* $(x-\frac{2}{3})(y-\frac{2}{3})(z-\frac{2}{3})\geq 0 $

$\Leftrightarrow xyz\geq \frac{50}{27}. $

* $(x-2)(y-2)(z-2)\leq 0 $

$\Leftrightarrow xyz\leq 2. $

Từ đó, ta có:

$\frac{86}{9}\leq Q\leq 10. $

Kết luận:

* Giá trị nhỏ nhất của Q là $\frac{86}{9} $, đạt tại $(x,y,z)=(\frac{2}{3},\frac{5}{3},\frac{5}{3}) $ hoặc các hoán vị.

* Giá trị lớn nhất của Q là $2 $, đạt tại $(x,y,z)=(2,1,1) $ hoặc các hoán vị.

P/S:

Lời giải hoàn toàn tương tự với những ý tưởng đã nêu.


Bài toán đã từng được trao đổi ở: [Only registered and activated users can see links. ]

(Ở đây có nêu lên 1 hướng tiếp cận tổng quát)
------------------------------

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Bài toán 2:


Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix}
xy+yz+zx=\frac{3}{2} \\
xyz=\frac{1}{4}
\end{matrix}\right. $

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:

$P=x^{3}+y^{3}+z^{3}. $

P/S:

Ý số 3 trong lời giải trên là một trong những ý tưởng được sử dụng thường xuyên cho các bài toán tiếp theo.

Bài toán này đã từng được trao đổi ở:

[Only registered and activated users can see links. ]

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]