Phương Trình Hàm

[nguyen__]

Tìm hàm số $f(x) $ xác định và liên tục trên D và thỏa mãn điều kiện :
$af(x)+f(bx)=cx $, ở đây $a,b,c \in D ,0 < |b| <1,|a| \ge 1 $

Anh chị giúp em bài này đi ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Anh giải thử nha, bài này cho điều kiện các biến nhiều quá nên lời giải dưới đây không biết có vấn đề gì không nữa! À, em có thể xem lại đề bài không, cho miền D hay là $\mathbb{R} $, miền D nào đó chỉ là tập con của $\mathbb{R} $ và $f(x) $ lại chỉ lấy giá trị trên D nên các phép tính trên đó rất bị giới hạn.

Xét hàm số: $g(x)=f(x)-\frac{cx}{a+b} $. Do f(x) liên tục nên g(x) cũng liên tục.
Từ điều kiện đã cho, ta có:
$af(x)+f(bx)=cx\Leftrightarrow a[f(x)-\frac{cx}{a+b}]+[f(bx)-\frac{c.bx}{a+b}]=0\Leftrightarrow ag(x)+g(bx)=0 $.
Suy ra: $g(x)=-\frac{1}{a}.g(bx) $. Thay x bởi bx, ta cũng có:
$g(bx)=-\frac{1}{a}.g(b^2x) $. Do đó:
$g(x)=\frac{1}{a^2}.g(b^2x) $.
Bằng quy nạp, ta chứng minh được đẳng thức sau đây đúng với mọi n nguyên dương:
$g(x)=\frac{1}{a^{2n}}.g(b^{2n}x) $.
Do $|a| \ge 1, 0 < |b| <1 $ nên theo tính chất hàm liên tục, chuyển biểu thức trên qua giới hạn của n tại vô cực, ta được:
$g(x)=0\Rightarrow f(x)=\frac{cx}{a+b} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]