Một số bài toán Lượng Giác

hong.qn · 20-11-2010, 08:38 AM

CMR nếu tam giác $ABC $ có ba cạnh $a, b, c $ thỏa mãn:
1)$\left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{b^3+c^3-a^3}{b+c-a}=a^2\\a=2b\cos C\end{matrix} $ thì tam giác $ABC $ đều.

2) $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C} $ thì tam giác $ABC $ vuông.

3) $\sin A=2\cos B\sin C $ thì tam giác $ABC $ cân.

**novae** · 20-11-2010, 08:50 AM

Từ hệ thức đầu tiên, ta có
$b^3+c^3=a^2 (b+c) \Rightarrow b^2-bc+c^2=a^2 \Rightarrow \cos A=\frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{A}=60^\circ $
Từ hệ thức thứ 2, ta có
$\frac{a}{b}=2 \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{ab} \Rightarrow a^2=a^2+b^2-c^2 \Rightarrow b=c $
Suy ra $\Delta ABC $ đều
$\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C} $
$\Rightarrow \sin A \cos B+\sin A \cos C=\sin A\cos C+\sin C \cos A +\sin A \cos B +\sin B \cos A $
$\Rightarrow \cos A (\sin B+\sin C)=0 $
$\Rightarrow \cos A=0 $
$\Rightarrow \Delta ABC $ vuông tại $A $
$\sin A=2\cos B \sin C $
$\Rightarrow \sin B\cos C+\sin C \cos B =2\cos B \sin C $
$\Rightarrow \sin (B-C)=0 $
$\Rightarrow B=C $
$\Rightarrow \Delta ABC $ cân tại $A $

hong.qn · 20-11-2010, 09:04 AM

Anh có thể giải rõ hơn một chút hai cầu 2 và 3 được không ah?

Em có vài điều muốn hỏi anh Novae:
1) Sao anh có tốc độ giải bài nhanh thế ah?
2) Anh Novae có thể chỉ ra cho em một vài kinh nghiệm học lượng giác được không ah?
3) Mà em cảm thấy hình như Lượng Giác không phải dành cho con gái hay sao ấy phải không anh?

**novae** · 20-11-2010, 09:27 AM

Trích:

Nguyên văn bởi hong.qn

Anh có thể giải rõ hơn một chút hai cầu 2 và 3 được không ah?

Em có vài điều muốn hỏi anh Novae:
1) Sao anh có tốc độ giải bài nhanh thế ah?
2) Anh Novae có thể chỉ ra cho em một vài kinh nghiệm học lượng giác được không ah?
3) Mà em cảm thấy hình như Lượng Giác không phải dành cho con gái hay sao ấy phải không anh?

Câu 2 và 3 lúc nãy anh viết thiếu một số chỗ, đã sửa lại, trong 2 câu đó có áp dụng công thức $\sin A=\sin(\pi -B-C)=\sin (B+C) $
Còn về 3 câu hỏi của em, câu 1 và 2 thì anh chịu

, câu 3 thì chắc chắn là không phải như em nói

hong.qn · 20-11-2010, 09:50 AM

Anh ơi vui quá em có một cách giải nữa cho câu 2 anh ah:
Áp dụng định lý Sin ta có:
$(2) \Leftrightarrow a = \frac{{b + c}}{{\cos B + \cos C}} \Leftrightarrow a\cos B + a\cos C = b + c $

$\Leftrightarrow a\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} + a\frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ab}} = b + c $

$\Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2c}} + \frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2b}} = b + c $

Sau một hồi qui đồng, nhân chéo và rút gọn các hạng tử đồng dạng đi đến cái nè:

$(2) \Leftrightarrow (b + c)({a^2} - {b^2} - {c^2}) = 0 $
$ \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2} $
$\Leftrightarrow \Delta ABC $ vuông tại $A $
------------------------------
Câu 3 cũng giải được như thế anh ơi:
$(3) \Leftrightarrow a = 2\cos B.c \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{ac}} \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} + {c^2} - {b^2} $
$\Leftrightarrow {c^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow c = b $

PS: Điều này chứng tỏ con gái mún học được lượng giác phải có con trai hi hi hi

No Problem · 20-11-2010, 10:25 AM

Trích:

Nguyên văn bởi hong.qn

CMR nếu tam giác $ABC $ có ba cạnh $a, b, c $ thỏa mãn:

2) $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C} $ thì tam giác $ABC $ vuông.

bài 2 còn có cách khác
$sinA=2sin\frac{A}{2}.cos\frac{A}{2} $
$\frac{sin B+sin C}{cos B+cos C}=\frac{2sin\frac{B+C}{2}.cos\frac{B-C}{2}}{2cos\frac{B+C}{2}.cos\frac{B-C}{2}}=\frac{sin\frac{B+C}{2}}{cos\frac{B+C}{2}}= \frac{cos\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}} $
=> $sin^2\frac{A}{2}=\frac{1}{2} $ =>.....

20-11-2010, 08:38 AM	#1
hong.qn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Đến từ: Hà Giang Bài gởi: 154 Thanks: 44 Thanked 32 Times in 24 Posts	Một số bài toán Lượng Giác CMR nếu tam giác $ABC $ có ba cạnh $a, b, c $ thỏa mãn: 1)$\left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{b^3+c^3-a^3}{b+c-a}=a^2\\a=2b\cos C\end{matrix} $ thì tam giác $ABC $ đều. 2) $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C} $ thì tam giác $ABC $ vuông. 3) $\sin A=2\cos B\sin C $ thì tam giác $ABC $ cân. __________________ Em đem trao cho anh nụ Hồng Nụ hồng mong manh như sương mai trong gió CHÚA SINH RA ĐÀN BÀ ĐỂ NGỰ TRỊ ĐÀN ÔNG ĐỨA NÀO SỢ ĐÀN ÔNG KHÔNG PHẢI CON CỦA CHÚA "Trích kinh thánh quyển 2010 dòng 2011"

20-11-2010, 08:50 AM	#2
novae +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts	Từ hệ thức đầu tiên, ta có $b^3+c^3=a^2 (b+c) \Rightarrow b^2-bc+c^2=a^2 \Rightarrow \cos A=\frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{A}=60^\circ $ Từ hệ thức thứ 2, ta có $\frac{a}{b}=2 \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{ab} \Rightarrow a^2=a^2+b^2-c^2 \Rightarrow b=c $ Suy ra $\Delta ABC $ đều $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C} $ $\Rightarrow \sin A \cos B+\sin A \cos C=\sin A\cos C+\sin C \cos A +\sin A \cos B +\sin B \cos A $ $\Rightarrow \cos A (\sin B+\sin C)=0 $ $\Rightarrow \cos A=0 $ $\Rightarrow \Delta ABC $ vuông tại $A $ $\sin A=2\cos B \sin C $ $\Rightarrow \sin B\cos C+\sin C \cos B =2\cos B \sin C $ $\Rightarrow \sin (B-C)=0 $ $\Rightarrow B=C $ $\Rightarrow \Delta ABC $ cân tại $A $ __________________ M. thay đổi nội dung bởi: novae, 20-11-2010 lúc 09:25 AM

20-11-2010, 09:04 AM	#3
hong.qn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Đến từ: Hà Giang Bài gởi: 154 Thanks: 44 Thanked 32 Times in 24 Posts	Anh có thể giải rõ hơn một chút hai cầu 2 và 3 được không ah? Em có vài điều muốn hỏi anh Novae: 1) Sao anh có tốc độ giải bài nhanh thế ah? 2) Anh Novae có thể chỉ ra cho em một vài kinh nghiệm học lượng giác được không ah? 3) Mà em cảm thấy hình như Lượng Giác không phải dành cho con gái hay sao ấy phải không anh? __________________ Em đem trao cho anh nụ Hồng Nụ hồng mong manh như sương mai trong gió CHÚA SINH RA ĐÀN BÀ ĐỂ NGỰ TRỊ ĐÀN ÔNG ĐỨA NÀO SỢ ĐÀN ÔNG KHÔNG PHẢI CON CỦA CHÚA "Trích kinh thánh quyển 2010 dòng 2011" thay đổi nội dung bởi: hong.qn, 20-11-2010 lúc 09:09 AM

20-11-2010, 09:50 AM	#5
hong.qn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Đến từ: Hà Giang Bài gởi: 154 Thanks: 44 Thanked 32 Times in 24 Posts	Anh ơi vui quá em có một cách giải nữa cho câu 2 anh ah: Áp dụng định lý Sin ta có: $(2) \Leftrightarrow a = \frac{{b + c}}{{\cos B + \cos C}} \Leftrightarrow a\cos B + a\cos C = b + c $ $\Leftrightarrow a\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} + a\frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ab}} = b + c $ $\Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2c}} + \frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2b}} = b + c $ Sau một hồi qui đồng, nhân chéo và rút gọn các hạng tử đồng dạng đi đến cái nè: $(2) \Leftrightarrow (b + c)({a^2} - {b^2} - {c^2}) = 0 $ $ \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2} $ $\Leftrightarrow \Delta ABC $ vuông tại $A $ ------------------------------ Câu 3 cũng giải được như thế anh ơi: $(3) \Leftrightarrow a = 2\cos B.c \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{ac}} \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} + {c^2} - {b^2} $ $\Leftrightarrow {c^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow c = b $ PS: Điều này chứng tỏ con gái mún học được lượng giác phải có con trai hi hi hi __________________ Em đem trao cho anh nụ Hồng Nụ hồng mong manh như sương mai trong gió CHÚA SINH RA ĐÀN BÀ ĐỂ NGỰ TRỊ ĐÀN ÔNG ĐỨA NÀO SỢ ĐÀN ÔNG KHÔNG PHẢI CON CỦA CHÚA "Trích kinh thánh quyển 2010 dòng 2011" thay đổi nội dung bởi: hong.qn, 20-11-2010 lúc 09:59 AM Lý do: Tự động gộp bài