[Vòng 2] Ngày thứ hai- Đề thi chọn HSG lớp 11-12 KHTN 2012-2013

[bboy114crew]

Câu 1: Cho dãy số ${x_n}$ xác định bởi :

$\left\{\begin{matrix}
&x_1=5;x_2=\frac{17}{2} \\
& x_{n+1}=\frac{1}{4}x_nx_{n-1}^2-2x_n-4
\end{matrix}\right.$
$n \ge 2$
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $[x_n] + 3$ là lập phương của một số tự nhiên .

Câu 2: Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
&x^2(y+3)=4(2-y) \\
& y^2(z+3)=4(2-z) \\
& z^2(x+3)=4(2-x)
\end{matrix}\right.$

Câu 3: Cho $ABC$ cân tại $A$ và $ABC$ là tam giác nhọn . $D$ là mọt điểm thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $\angle{ADB} < 90^0 $ . Từ điểm $C$ kẻ các tiếp tuyến $CM,CN$ tới đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ ($M,N $ thuộc đường tròn ngoaoij tiếp tam giác $ABD$). Gọi $P,Q$ lầm lựot là trung điểm $CM,CN$ . Giả sử $PQ$ cắt đoạn thẳng $BC$ tại $E$. Lấy điểm $F$ trên đoạn thẳng $AE$ sao cho $\angle{EFC}= \angle{DAC}$ . Chứng minh rằng : $\angle{BEF}= \angle{BAC}$.

Câu 4: Có 19 người xếp thành hàng vào xem một buổi biểu diễn ảo thuật .Phòng biểu diễn có đúng 19 chiếc ghế được xếp thành hàng ngang và ảo thuật gia đánh sô chúng từ 1 đến 19 theo thứ tự từ trái qua phải . Sau đó anh ta phát cho mỗi ngừoi đến xem 1 tấm vé có ghi một số từ 1 đến 19 . Các vị khách được mời vào phòng biểu diễn theo thứ tự xếp hàng . Mỗi ngừoi đi vào sẽ đi thẳng đến chiếc ghế có số ghi trên tấm vé của mình. Nếu chiếc ghế này còn trống họ sẽ ngồi vào đó , nếu không họ sẽ đi tiếp và ngồi vào chiếc ghế đầu tiên vê bên phải chưa có người ngồi . Khi một vị khách đi đến chiếc ghế cuối cùng mà vẫn chưa có ghế để ngồi , họ sẽ bỏ về . Hỏi ảo thuật gia có bao nhiêu cách phát vé để cả 19 vị khách sẽ ở lại xem buổi biểu diễn ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ratuno]

Câu 3
Dễ thấy $PQ$ là trục đẳng phương của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABD$ và $C$ $\rightarrow ED.EB=EC^2 \leftrightarrow \dfrac {EC}{EB}=\dfrac{DC}{BC}$ (1)
Kéo dài $AE$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ tại $K$. Ta có $\Delta ADC \sim FCK \rightarrow \dfrac {FK} {AC}=\dfrac{KC} {DC}$ (2).
Dễ thấy $\dfrac {KC} {KB}=\dfrac{EC} {EB}$ kết hợp với (1) ta có $\dfrac{KC} {KB}=\dfrac{DC} {BC} \rightarrow \dfrac{KC} {DC} =\dfrac{KB} {BC}$ (3)
Từ (2) (3) suy ra $\dfrac{BK}{ BC}=\dfrac{FK} {AC} \rightarrow \Delta BFK \sim BAC \rightarrow \angle BFE=\angle BAC$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhorg]

Nguyên văn bởi bboy114crew

Câu 1: Cho dãy số ${x_n}$ xác định bởi :

$\left\{\begin{matrix}
&x_1=5;x_2=\frac{17}{2} \\
& x_{n+1}=\frac{1}{4}x_nx_{n-1}^2-2x_n-4
\end{matrix}\right.$
$n \ge 2$
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $[x_n] + 3$ là lập phương của một số tự nhiên .

Câu 2: Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
&x^2(y+3)=4(2-y) \\
& y^2(z+3)=4(2-z) \\
& z^2(x+3)=4(2-x)
\end{matrix}\right.$

Em xin giải bài 1 như sau :

*Đặt dãy $U_{n} = 2^{2^{n-1}+1} \ \forall n \in \mathbb{N^*} $

*Ta sẽ CM bằng quy nạp $x_{n} = U_{n} + \frac{4}{U_{n}} \forall n \in \mathbb{N^*} $

Thật vậy n =1,2 đúng do $\begin{cases} x_{1} = 2^2+ 1 = U_1 + \frac{4}{U_1} \\ x_2 = \frac{17}{2} = 2^3 +\frac{1}{2} = U_2 + \frac{4}{U_2} \end{cases} $

Giả sử đúng tới $n=k \\ (k \ge 3 ) $

khi đó với $n = k+1 $ thì $x_{k+1} =\frac{1}{4}.x_k.x_{k-1}^2 - 2x_k - 4 = \frac{1}{4}.(U_{k} + \frac{4}{U_k} ).(U_{k-1} + \frac{4}{U_{k-1}})^2 - 2.(U_k+\frac{4}{U_{k}}) - 4 $

Do : $U_{k} = \frac{U_{k-1}^2}{2} $
Nên :$x_{k+1} =\frac{1}{4}.(U_{k} + \frac{4}{U_k} ).(2U_{k} + 8 +\frac{8}{U_{k}} ) - 2.(U_k+\frac{4}{U_{k}}) - 4 =\frac{U_{k}^2}{2} + \frac{8}{U_{k}^2} = U_{k+1} + \frac{4}{U_{k+1}} $
Suy ra $n = k+1 $ đúng

Theo nguyên lý quy nạp ta có :

$x_{n} = 2^{2^{n-1}+1} + \frac{1}{2^{2^{n-1} - 1}} \\ \forall n \ge 2,n \in \mathbb{N} $

Do đó : $[x_n] = 2^{2^{n-1}+1} \ \forall n \ge 2 $

*)Tìm n :
+) n =1 thì $x_1+3=8 $ thỏa mãn

+) $ n \ge 2 $
Ta cần tim $ n \in N^* $ sao cho $2^{2^{n-1}+1} + 3 = A^3 $
+)$ n \ge 2 $ thì ta có $2^{2^{n-1}+1} \equiv 1 (\mod 7) $ nên $A^3 \equiv 4 (\mod 7) $

Mặt khác $A^3 \equiv 0,1,6 (\mod 7) $

Như vậy chỉ có n = 1 thỏa mãn bài toán
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[keodua123]

Nguyên văn bởi thanhorg

Em xin giải bài 1 như sau :

*Đặt dãy $U_{n} = 2^{2^{n-1}+1} \ \forall n \in \mathbb{N^*} $

*Ta sẽ CM bằng quy nạp $x_{n} = U_{n} + \frac{4}{U_{n}} \forall n \in \mathbb{N^*} $

Thật vậy n =1,2 đúng do $\begin{cases} x_{1} = 2^2+ 1 = U_1 + \frac{4}{U_1} \\ x_2 = \frac{17}{2} = 2^3 +\frac{1}{2} = U_2 + \frac{4}{U_2} \end{cases} $

Giả sử đúng tới $n=k \\ (k \ge 3 ) $

khi đó với $n = k+1 $ thì $x_{k+1} =\frac{1}{4}.x_k.x_{k-1}^2 - 2x_k - 4 = \frac{1}{4}.(U_{k} + \frac{4}{U_k} ).(U_{k-1} + \frac{4}{U_{k-1}})^2 - 2.(U_k+\frac{4}{U_{k}}) - 4 $

Do : $U_{k} = \frac{U_{k-1}^2}{2} $
Nên :$x_{k+1} =\frac{1}{4}.(U_{k} + \frac{4}{U_k} ).(2U_{k} + 8 +\frac{8}{U_{k}} ) - 2.(U_k+\frac{4}{U_{k}}) - 4 =\frac{U_{k}^2}{2} + \frac{8}{U_{k}^2} = U_{k+1} + \frac{4}{U_{k+1}} $
Suy ra $n = k+1 $ đúng

Theo nguyên lý quy nạp ta có :

$x_{n} = 2^{2^{n-1}+1} + \frac{1}{2^{2^{n-1} - 1}} \\ \forall n \ge 2,n \in \mathbb{N} $

Do đó : $[x_n] = 2^{2^{n-1}+1} \ \forall n \ge 2 $

*)Tìm n :
+) n =1 thì $x_1+3=8 $ thỏa mãn

+) $ n \ge 2 $
Ta cần tim $ n \in N^* $ sao cho $2^{2^{n-1}+1} + 3 = A^3 $
+)$ n \ge 2 $ thì ta có $2^{2^{n-1}+1} \equiv 1 (\mod 7) $ nên $A^3 \equiv 4 (\mod 7) $

Mặt khác $A^3 \equiv 0,1,6 (\mod 7) $

Như vậy chỉ có n = 1 thỏa mãn bài toán

Làm sao bạn xác định được $u_n$ vậy? Bạn có thể chỉ mình biết ko?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhorg]

Nguyên văn bởi keodua123

Làm sao bạn xác định được $u_n$ vậy? Bạn có thể chỉ mình biết ko?

Mình tìm được nó là nhờ dự đoán ,bằng cách tính phần nguyên của mấy giá trị đầu.
Cụ thể là : $ \begin{cases} x_1 = 5 = 2^2 + \frac{1}{2^0} \\ x_2 = \frac{17}{2} = 2^3 + \frac{1}{2^1} \\ x_3 = \frac{257}{8} = 2^5 + \frac{1}{2^3} \end{cases} $
Từ đây mình dự đoán $x_{n} = 2^k + \frac{1}{2^{k-2}} $
Để Tìm k thì mình lại dựa vào mấy số mũ đầu.
Nó là dãy có dạng $2,3,5,9,... $ và dãy này sẽ có dạng $a_{n+1} = 2a_{n} - 1 $
Từ đây tìm được $k = a_n = 2^{n-1} + 1 $ và sau đó thế vào dự đoán trên rồi mình quy nạp thử thấy đúng.Có lẽ là có chút may mắn khi làm thế này
Còn $U_{n} $ ở trên là sau khi dự đoán mình đặt thế cho gọn !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[BlackBerry® Bold™]

Bài dãy số như kiểu nhái lại đề năm ngoái í nhể .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[A Good Man]

Nguyên văn bởi keodua123

Làm sao bạn xác định được $u_n$ vậy? Bạn có thể chỉ mình biết ko?

1. Quy nạp $ 2{x_n}={x_{n-1}}^{2}-8 $
2. Từ 1 và quy nạp suy ra ${x_n}=2[ (\sqrt{2})^{2^{n}} +\dfrac {1}{(\sqrt{2})^{2^{n}} } ] $
Từ đó suy ra công thức như trên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[minhtuyb]

Nguyên văn bởi bboy114crew

Câu 4: Có 19 người xếp thành hàng vào xem một buổi biểu diễn ảo thuật .Phòng biểu diễn có đúng 19 chiếc ghế được xếp thành hàng ngang và ảo thuật gia đánh sô chúng từ 1 đến 19 theo thứ tự từ trái qua phải . Sau đó anh ta phát cho mỗi ngừoi đến xem 1 tấm vé có ghi một số từ 1 đến 19 . Các vị khách được mời vào phòng biểu diễn theo thứ tự xếp hàng . Mỗi ngừoi đi vào sẽ đi thẳng đến chiếc ghế có số ghi trên tấm vé của mình. Nếu chiếc ghế này còn trống họ sẽ ngồi vào đó , nếu không họ sẽ đi tiếp và ngồi vào chiếc ghế đầu tiên vê bên phải chưa có người ngồi . Khi một vị khách đi đến chiếc ghế cuối cùng mà vẫn chưa có ghế để ngồi , họ sẽ bỏ về . Hỏi ảo thuật gia có bao nhiêu cách phát vé để cả 19 vị khách sẽ ở lại xem buổi biểu diễn ?

- Ta cho thêm một ghế số $0$ và xếp các ghế $0,1,2,...,19$ thành vòng tròn (như hình vẽ). Cho phép vị khách đi tiếp theo chiều kim đồng hồ cho đến khi nào có ghế trống thì ngồi $\Rightarrow$ Các vị khách luôn có chỗ ngồi.

- Cho phép nhà ảo thuật phát vé số $0\Rightarrow$ Có $20^{19}$ cách phát vé cho $19$ người (kể cả phát vé số $0$ )

- N/xét: Một cách phát vé thỏa mãn yêu cầu bài toán tương đương với cách xếp mới thì cách phát vé này không phát vé số $0$ (ghế số $0$ trống)
-Quy ước $a_i\equiv a_j$ nếu $i\equiv j \ (\mod 20);\ j\in \left\{1,...,19\right\} $. Ta xét cách phát vé $(a_1;a_2;...;a_{18}; a_{19})$ có ghế trống $a$ thì:
+) Cách phát vé $(a_2;a_3;...;a_{19};a_1)$ có ghế trống $a+1$
+) Cách phát vé $(a_3;a_4;...;a_1;a_2)$ có ghế trống $a+2$
...
+) Cách phát vé $(a_{1+k};a_{2+k};...;a_{18+k};a_{19+k})$ có ghế trống $a+k$

Nhóm thành $20$ cách phát vé:
$(a_1;a_2;...;a_{18}; a_{19});(a_2;a_3;...;a_{19}; a_{1});...;(a_{19};a_{1};...;a_{17}; a_{18})$
Rõ ràng các các phát vé trên là phân biệt và có ghế trống phân biệt.
Trong 20 cách phát vé trên có đúng 1 cách có ghế trống là ghế số $0$ (cách phát vé thỏa mãn đề bài)
$\Rightarrow$ Số cách phát vé thỏa mãn bài toán là: $\dfrac{20^{19}}{20}=20^{18}$ (cách) $\square$

P/s: Bài này là cách phát biểu khác của Parking Function .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]