Đề thi năng khiếu lớp 10 Toán lần thứ 4

[MK.Duy]

Bài 1( 2 điêm) giải các phương trình:
a) $8 - x^{2}=4(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}) $
b) $2\sqrt{x+2}=x^{3}-4 $
Bài 2 ( 2 điểm)
Cho tứ giác $ABCD $ nội tiếp một đường tròn bán kính $R $. Chứng minh:
$16R^{2}\geq (AB+CD)^{2}+(BC+DA)^{2}\geq (AC+BD)^{2} $
Bài 3 (2 điểm)
Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thay đổi. TÌm giá trin nhỏ nhất của:
$S=(\frac{a}{b+c+d})^{\frac{3}{4}}+(\frac{b}{a+c+d} )^{\frac{3}{4}}+(\frac{c}{b+a+d})^{\frac{3}{4}}+( \frac{d}{ b+c+a } )^{\frac{3}{4}} $
Bài 4 (2 điểm)
a) Cho $a, b, c $ là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng phương trình $ax^{2}+bx+c $ không thể có nghiệm hữu tỉ.
b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên $a $ và $b $ sao cho:
$5a^{2}+6ab+7b^{2}=1993 $
Bài 5 ( 2 điểm)
Đường kính của 1 tập hợp trong mặt phẳng bằng khoảng cách lớn nhất giữa hai điẻm bất kì của nó. Như vậy, đường kính của 1 hình vuông đơn vị là $\sqrt{2} $.
a) Chứng minh rằng 1 hình vuông đơn vị có thể được phủ kín bởi ba tập hợp có đường kính không vượt quá $\frac{\sqrt{65}}{8} $
b)Chứng minh rằng 1 hình vuông đơn vị không thể được phủ kín bởi ba tập hợp có đường kính nhỏ hơn $\frac{\sqrt{65}}{8} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Bài 4: câu a) giả sử pt $ax^2+bx+c=0 $ có nghiệm hữu tỉ
Vậy $\Delta=k^2 $ $(k\epsilon Z) $
mà $a,b,c $ lẻ nên $\Delta $ lẻ nên $k^2 $ lẻ
=>$\Delta\equiv 1 (mod 8) $
Đặt $a=2t+1 $, $b=2u+1 $, $c=2v+1 $ $(t,v,u\epsilon Z) $
=>$\Delta=b^2-4ac=(2t+1)^2-4(2t+1)(2v+1)=4t(t+1)-8(u+v+2tv)+1-4\equiv -3\equiv 5(mod 8) $
mà $\Delta\equiv 1(mod 8) $ (cmt)
=> Mâu thuẫn (VL)
=> phương trình không co nghiệm hữu tỉ
------------------------------
Câu 1: b) $2\sqrt{x+2}=x^3-4 $ (*)
Với $x\geq -2 $, ta có
(*)<=>$2(\sqrt{x+2}-2)=(x-2)(x^2+2x+4) $
<=>$\frac{2(x-2)}{\sqrt{x+2}+2}=(x-2)(x^2+2x+4) $
<=>$x=2 $ (nhận)
hay
$\frac{2}{\sqrt{x+2}+2}=(x^2+2x+4) $
theo điều kiện $x\geq -2 $ thì:
$VT\leq 1 $
$VP\geq 4 $
Vậy $VT\neq VP $
Vậy $x=2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Câu 1a
Đặt $\sqrt{1-x}=a,\sqrt{1+x}=b $ ta có $a^2+b^2=2 $
Phương trình đã cho trở thành $a^2b^2+7=4(a+b) <=> (ab-1)^2+(a+b-2)^2=0 $

Buồn quá. Làm ăn không ra gì. Đi tu thôi là vừa

------------------------------
Đây là đề của nguyễn trãi. Hơi thất vọng với hai phần số
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Bài 1: a) Với $-1\geq x\leq 1 $,
Đặt a=\sqrt{1-x}, b=\sqrt{1+b} $(a,b\geq 0) $, ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix}
7+a^2b^2=4(a+b) &(1) \\
a^2+b^2=2 & (2)
\end{matrix}\right. $
Bình phương (1):
=>$\left\{\begin{matrix}
49+a^4b^4+14a^2b^2=16(a^2+b^2+2ab) & \\
a^2+b^2=2 &
\end{matrix}\right. $
=>$a^4b^4+14a^2b^2-32ab+17=0 $ (do $a^2+b^2=2 $)
<=>$(ab-1)^2(a^2b^2+2ab+17)=0 $
=>$ab=1 $ (nhận) (do $a^2b^2+2ab+17 >0 $)
=>$\sqrt{1-x^2}=1 $
=>$x=0 $ (nhận)
P/s: Lời giải của mình không đc hay lắm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Post lun câu 4b)
$5a^2+6ab+7b^2-1993=0 $
Giả sử pt trên có nghiệm a,b nguyên, ta coi a là ẩn nguyên:
=>$\Delta=k^2 $ (với $k\epsilon Z $)
=>$9965-26b^2=k^2 $
*Xét $b $ chẵn
=>$9965-26b^2\equiv 9965\equiv 5 (mod 8) $
mà $k^2 $ lẻ (do $9965-26b^2 $ lẻ)
=>$k^2\equiv 1 (mod 8) $
=> Mâu thuẫn (VL)
*Xét $b $ lẻ
=>$9965-26b^2\equiv 9965-26\equiv 3 (mod 8) $
mà $k^2 $ lẻ
=>$k^2\equiv 1 (mod 8) $
=> Mâu thuẫn (VL)
Vậy pt trên không có nghiệm nguyên
P/s: Đề gì mà gê thế. Nãy giờ mới kiếm đc 4 điểm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Bài cuối khó thật. Ai có cao kiến gì không ???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Ngon zai rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Bài 2 hơi dài
Bài 3 có hai cách.
C1 Cau chy - Schwarz

mình thích

$S=\sum(\frac{a}{b+c+d})^{\frac{3}{4}}=\sum {\frac{a^2}{a\sqrt[4]{a(b+c+d)^3}} } \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{\sum{a\sqrt[4]{a(b+c+d)^3}}} $
Ta đưa bdt về $(a+b+c+d)^2 \geq \frac{4}{\sqrt[4]{27}} \sum{a\sqrt[4]{a(b+c+d)^3} $
Thật vậy $\frac{4}{\sqrt[4]{27}}a\sqrt[4]{a(b+c+d)^3}\leq a(a+b+c+d) $

AMGM

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pgviethung]

Bài 5:
Xét hình vuông ABCD tâm O. Lấy E, F trên AB, DC sao cho AE=DF=1/8. Lấy G là trung điểm BC.
a) Hình vuông chia làm ba phần: AEOFD, EBGO và OGCF
b) Dirichlet.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

. Cái phần $(AB+CD)^2+(BC+AD)^2\geq (AC+BD)^2 $ dùng bđt tam giác phải không???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

$(AB+CD)^{2}+(BC+DA)^{2}\geq (AC+BD)^{2} $
Cái này xài ptoleme và công thức đường trung tuyến
Cái trước dùng định lí sin trong đường tròn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MK.Duy]

Nguyên văn bởi pgviethung

Bài 5:
Xét hình vuông ABCD tâm O. Lấy E, F trên AB, DC sao cho AE=DF=1/8. Lấy G là trung điểm BC.
a) Hình vuông chia làm ba phần: AEOFD, EBGO và OGCF
b) Dirichlet.

bạn giải rõ cho mình với, chứ chưa hiểu phần b) như thế nào
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pgviethung]

Bài 5 b)
Xét đỉnh A, lấy 2 điểm khác trên cạnh hình vuông cách A khoảng 1/8, tương tự lấy cho các đỉnh khác. Bây giờ có 12 điểm.
N/x: không có hình tròn nào đường kính nhỏ hơn $\sqrt{65}/8 $ chứa 5 điểm trong 12 điểm trên.
Suy ra, nếu có thể phủ được thì mỗi hình tròn chứa đúng 4 điểm. Lúc này, chỉ có 1 khả năng xảy ra là: bộ 4 điểm trên 1 cạnh thuộc 1 hình tròn và 2 bộ 4 điểm khác, mỗi bộ tập trung tại góc hình vuông (vẽ hình sẽ thấy).
Chọn điểm K là trung điểm của cạnh hình vuông đối diện với cạnh chứa 4 điểm cùng thuộc một đường tròn. Dễ thấy trong mỗi bộ 4 điểm (chia ở trên) thì có ít nhất 1 điểm mà khoảng cách đến K không nhỏ hơn $\sqrt{65}/8 $. Mâu thuẫn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Bài hình còn có cahcs khác : khai triển $( \vec{OA} +\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD})^2 \geq 0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]