Đề thi chọn đội tuyển PTNK năm học 2012-2013

hqdhftw · 02-10-2012, 05:58 PM

Đề thi chọn đội tuyển trường PTNK 2012-2013

Ngày 1:
Câu 1:
Giải hệ:
$$ \begin{cases} x+y &= \ 3; \\ xz+yt &= \ 5; \\ xz^2+yt^2 &= \ 41; \\ xz^3+yt^3 &= \ 121. \end{cases} $$

Câu 2:
Cho dãy $(u_n)$ giảm và có giới hạn bằng $0$. Xét 2 dãy:
$$ v_n=u_1+u_2+\cdots+u_n-nu_{n+1}, $$
$$ z_n=u_1+u_2+\cdots+u_n. $$
Chứng minh nếu $(v_n)$ bị chặn thì $(z_n)$ hội tụ.

Câu 3:
Cho tập $X = \{1;2;\ldots;4n \}$. Hai tập con $A$ và $B$ của $X$ được gọi là không giống nhau nếu $|A \delta B| \geq 2n+1$. Trong đó $A \delta B=(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$. Cho $\{ A_1;A_2;\ldots;A_m\}$ là tập con của $X$ gồm $m$ phần tử đôi một không giống nhau.
a/Chứng minh $m \leq 2n$.
b/Chứng minh $m \leq \frac{4(n+1)}{3}$

Câu 4::
Cho $\triangle ABC, M,N$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $\angle BAM = \angle CAN= \alpha$ ($M$ nằm giữa $B,N$). Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Kẻ $BH \perp AM, CK \perp AN$ lần lượt tại $H,K$.
a/Chứng minh tâm đường tròn $(IHK)$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định.
b/Tính $\alpha$ theo $\angle ABC$ và $\angle ACB$ sao cho $(IKH)$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$ hoặc đường tròn đường kính $AC$.

**TrauBo** · 02-10-2012, 08:13 PM

Xử trước bài hệ.

$$\begin{cases} x+y &= \ 3; \\ xz+yt &= \ 5; \\ xz^2+yt^2 &= \ 41; \\ xz^3+yt^3 &= \ 121. \end{cases} $$
Ý tưởng của ta là tính $zt$ và $z+t$. Đặt $a_k=xz^k+yt^k$ suy ra $$a_{k+1}=(z+t).a_k - zt.a_{k-1}\ (*)$$
Từ hệ ta có $a_0=3 ; \ a_1=5 ; \ a_2 = 41; \ a_3 = 121$
Áp dụng (*) với $k=2, k=3$ ta có $$\begin{cases} 41=5(z+t)-3zt \\ 121=41(z+t)-5zt \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z+t=\dfrac{79}{49} \\ zt=\dfrac{-538}{49} \end{cases}$$
Suy ra $z, \ t$ là nghiệm của phương trình $49X^2-79X-538=0$. Gọi 2 nghiệm của phương trình này là $\alpha, \beta$.
Giả sử $z=\alpha , t=\beta$ thay vào hệ đầu ta có $$\begin{cases} x+y=3 \\ \alpha x + \beta y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=\dfrac{3\beta - 5}{\beta - \alpha} \\ y=\dfrac{5-3\alpha }{\beta - \alpha} \end{cases}$$
Trường hợp $z=\beta, t=\alpha$ làm tương tự.

Có được dùng máy tính không mà nghiệm xấu thế?

paul17 · 02-10-2012, 09:01 PM

Trích:

Nguyên văn bởi TrauBo

Xử trước bài hệ.

$$\begin{cases} x+y &= \ 3; \\ xz+yt &= \ 5; \\ xz^2+yt^2 &= \ 41; \\ xz^3+yt^3 &= \ 121. \end{cases} $$
Ý tưởng của ta là tính $zt$ và $z+t$. Đặt $a_k=xz^k+yt^k$ suy ra $$a_{k+1}=(z+t).a_k - zt.a_{k-1}\ (*)$$
Từ hệ ta có $a_0=3 ; \ a_1=5 ; \ a_2 = 41; \ a_3 = 121$
Áp dụng (*) với $k=2, k=3$ ta có $$\begin{cases} 41=5(z+t)-3zt \\ 121=41(z+t)-5zt \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z+t=\dfrac{79}{49} \\ zt=\dfrac{-538}{49} \end{cases}$$

TrauBo có thể giải thích rõ cách làm trên không nhỉ :s

thedragonray · 02-10-2012, 09:10 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hqdhftw

Đề thi chọn đội tuyển trường PTNK 2012-2013

Ngày 1:

Câu 4::
Cho $\triangle ABC, M,N$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $\angle BAM = \angle CAN= \alpha$ ($M$ nằm giữa $B,N$). Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Kẻ $BH \perp AM, CK \perp AN$ lần lượt tại $H,K$.
a/Chứng minh tâm đường tròn $(IHK)$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định.
b/Tính $\alpha$ theo $\angle ABC$ và $\angle ACB$ sao cho $(IKH)$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$ hoặc đường tròn đường kính $AC$.

a) Gọi AT là đường cao của tam giác ABC. Suy ra tứ giác AHTB và ATKC nội tiếp.
Do đó $\widehat{HTI}=\widehat{BAH}=\alpha =\widehat{CAK}=\widehat{ITK} $. Suy ra I,H,T,K đồng viên. Vậy tâm (IHK) thuộc đường trung trực của TI cố định.
b) Gọi (O) là đường tròn đường kính AB
Ta có tứ giác AHTB nội tiếp (O). Do đó (O) giao (IHK) tại T và H.
Để (O) và (IHK) tiếp xúc thì T trùng H dẫn đến AM là đường cao của tam giác ABC.
Khi đó $\alpha = 90-\widehat{ABC} $

**TrauBo** · 02-10-2012, 09:10 PM

Trích:

Nguyên văn bởi paul17

TrauBo có thể giải thích rõ cách làm trên không nhỉ :s

Ý tưởng chính vẫn là biến đổi đẳng thức để tìm tổng và tích, dựa vào hằng đẳng thức $a^{k+1}+b^{k+1}=(a+b)(a^k+b^k)-ab(a^{k-1}+b^{k-1})$. Từ đó ta tính được $a_3$ theo $a_1, a_2$ và $a_2$ theo $a_1, a_0$. Trình bày theo kiểu sai phân thì nó gọn hơn chút xíu thôi mà.

TNP · 02-10-2012, 10:36 PM

Cho em hỏi đề này các anh chị làm thế nào ạ, trung bình được bao nhiêu câu?

hqdhftw · 03-10-2012, 08:13 AM

Te tua hết rồi em à

, trừ anh Huy làm được 3.5 bài thì có 1 vài người (< 5 người) làm được khoảng 2 bài, còn lại 1.5 bài hoặc 1 bài hoặc tệ hơn. Đa số làm được bài hệ phương trình. Bài 4a cũng có ít người làm được, bài 4b thì đa số quên làm chiều đảo, bài 2 chỉ có 1 người làm được, bài 3a thì 3,4 người gì đó và 3b chưa ai làm được cả.
Bài 3a hình như hoàn toàn tương tự bài hàm năm ngoái(năm ngoái câu b, năm nay nó thành câu a

)

TNMinh_1996 · 03-10-2012, 03:02 PM

Thường thì 4b đâu cần làm phần đảo đâu nhỉ ?

trungnhan05 · 03-10-2012, 08:38 PM

Anh Bảo Linh làm bài thế nào vậy các anh

**Highschoolmath** · 03-10-2012, 08:39 PM

Trích:

Nguyên văn bởi trungnhan05

Anh Bảo Linh làm bài thế nào vậy các anh

Làm được 3 bài rưỡi, lúc ra phát hiện sai câu 4b.

ntuan5 · 03-10-2012, 08:46 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hqdhftw

Te tua hết rồi em à

, trừ anh Huy làm được 3.5 bài thì có 1 vài người (< 5 người) làm được khoảng 2 bài, còn lại 1.5 bài hoặc 1 bài hoặc tệ hơn. Đa số làm được bài hệ phương trình. Bài 4a cũng có ít người làm được, bài 4b thì đa số quên làm chiều đảo, bài 2 chỉ có 1 người làm được, bài 3a thì 3,4 người gì đó và 3b chưa ai làm được cả.
Bài 3a hình như hoàn toàn tương tự bài hàm năm ngoái(năm ngoái câu b, năm nay nó thành câu a

)

Anh Linh và anh Hiếu chắc không...?

leviethai · 04-10-2012, 06:13 AM

Xử lý bài 2 vậy.

Do $z_n$ là dãy tăng nên ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên là được.

Giả sử $L$ là chặn trên của $v_n$, ta có do $x_n$ giảm nên
$${z_n} - n{x_{n + 2}} \le {v_{n + 1}} = {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} + {x_{n + 1}} - (n + 1){x_{n + 2}} \le L.$$
Suy ra\[{z_n} \le L + n{x_{n + 2}}.\]Tương tự,\[{z_n} - n{x_{n + 3}} \le {v_{n + 2}} = {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} + {x_{n + 1}} + {x_{n + 2}} - (n + 2){x_{n + 3}} \le L.\]nên\[{z_n} \le L + n{x_{n + 3}}.\]Qua hai bước trên, làm tương tự, cho $n$ cố định, ta suy ra được\[{z_n} \le L + n\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {x_N} = L.\]Ta có điều phải chứng minh.

ThangToan · 04-10-2012, 06:42 AM

Trích:

Nguyên văn bởi leviethai

Xử lý bài 2 vậy.

Do $z_n$ là dãy tăng nên ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên là được.

Giả sử $L$ là chặn trên của $v_n$, ta có do $x_n$ giảm nên
$${z_n} - n{x_{n + 2}} \le {v_{n + 1}} = {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} + {x_{n + 1}} - (n + 1){x_{n + 2}} \le L.$$
Suy ra\[{z_n} \le L + n{x_{n + 2}}.\]Tương tự,\[{z_n} - n{x_{n + 3}} \le {v_{n + 2}} = {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} + {x_{n + 1}} + {x_{n + 2}} - (n + 2){x_{n + 3}} \le L.\]nên\[{z_n} \le L + n{x_{n + 3}}.\]Qua hai bước trên, làm tương tự, cho $n$ cố định, ta suy ra được\[{z_n} \le L + n\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {x_N} = L.\]Ta có điều phải chứng minh.

Ta có thể chứng minh theo cách khác như sau:
Dãy số $(u_n) $ giảm và hội tụ đến 0 nên $u_n\ge 0, $ vợi mọi số nguyên dương $n $
Do dãy $z_n $ là dãy số tăng nên để chứng minh nó hội tụ ta sẽ chứng minh nó bị chặn. Ta có $v_n=u_1+u_2+...+u_{n+1}-(n+1)u_{n+1} $ suy ra để chứng minh $(z_n) $ bị chặn ta sẽ chứng minh dãy $((n)u_n) $ bị chặn.
Thật vậy với mỗi số nguyên dương $m $ cho trước thì tồn tại $n_0\in \mathbb{N} $ sao cho:
$u_n\le \frac{1}{2}u_m $ với mọi $n\ge n_0 $ suy ra $mu_m\le 2m(u_m-u_n) $ (1).
Do dãy $(v_n) $ bị chặn nên tồn tại $a $ sao cho:
$u_1+u_2+...+u_n-nu_n\le a $
$\[ \Leftrightarrow {u_1} + {u_2} + ... + {u_m} + {u_{m + 1}} + ... + {u_n} - n{u_n} \le a\] $.
Kết hợp với dãy $(u_n) $ giảm ta được:

$\[ m{u_m} + \left( {n - m} \right){u_n} - n{u_n} \le a \Leftrightarrow m\left( {{u_m} - {u_n}} \right) \le a\,\,\,\left( 2 \right)\] $
Từ (1) và (2) ta được $mu_m\le 2a $. Do đó dãy $((n)u_n) $ bị chặn suy ra dãy $(z_n) $ bị chặn hay dãy này hội tụ.

leviethai · 04-10-2012, 10:20 AM

Trích:

Nguyên văn bởi TNMinh_1996

Thường thì 4b đâu cần làm phần đảo đâu nhỉ ?

Cần chứ, vì người ta kêu mình tìm "B" để thỏa "A". Lời giải của mình là theo kiểu "A" suy ra "B", như vậy, ta phải chứng minh rằng nếu có "B" ta sẽ thật sự có "A".

Đây là ví dụ để chứng minh "A" suy ra "B" chưa chắc tương đương với "B" suy ra "A".
------------------------------

Trích:

Giải hệ:
$$ \begin{cases} x+y &= \ 3; \\ xz+yt &= \ 5; \\ xz^2+yt^2 &= \ 41; \\ xz^3+yt^3 &= \ 121. \end{cases} $$

Bài hệ ta có thể làm theo cách sau.

Gọi 4 phương trình lần lượt là (1), (2), (3), (4). Trước tiên thử trường hợp $z+t=0$ (cái này dễ).

Giả sử $z+t \neq 0$. Ta có,

Phương trình (2) cho ta $(xz + yt)(z + t) = 5(z + t),$ sau khi khai triển, sử dụng phương trình (1) và (3), ta được $41 + 3zt = 5(z + t).$

Phương trình (3) cho ta $(x{z^2} + y{t^2})(z + t) = 41(z + t),$ sau khi khai triển, sử dụng phương trình (2) và (4), ta được $121 + 5zt = 41(z + t).$

Đến đây thì đơn giản rồi, ta chỉ việc giải ra $zt$ và $z+t$, sau đó tìm ra $z,\;t$, sau đó thì thay vào tìm $x,\;y$.

pth_tdn · 04-10-2012, 05:30 PM

Ngày thứ hai:
5/
a) Chứng minh rằng với mọi $x>0$ thì:
$2(x^{\frac{4}{3}}+\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}+1) \geq 3(x+\frac{1}{x})$.
b) Tìm số thực dương $a$ nhỏ nhất sao cho:
$2(x^{a}+\frac{1}{x^{a}}+1) \geq 3(x+\frac{1}{x})$ với mọi $x>0$.

6/Tìm n tự nhiên sao cho $A_{n}=1+3^{20(n^2+n+1)}+9^{14(n^2+n+1)}$ là số nguyên tố.

7/ Tìm hàm số $f: N* \rightarrow N*$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) $f(mf(n))=n^6.f(mn)$
ii) Với mọi $m, n$ nguyên tố cùng nhau thì $f(m), f(n)$ cũng nguyên tố cùng nhau.

8/ Cho tam giác ABC có $AB=AC$. H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC. (C) là một đường tròn đi qua H có tâm I di động trên đoạn AH. (C) cắt AB tại M, N và cắt AC tại P, Q sao cho M nằm giữa A và N, P nằm giữa A và Q. BP và BQ cắt (C) tại E, F. Chứng minh rằng giao điểm D của NE và MF là một điểm cố định.

02-10-2012, 05:58 PM	#1
hqdhftw +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2011 Bài gởi: 133 Thanks: 81 Thanked 153 Times in 80 Posts	Đề thi chọn đội tuyển PTNK năm học 2012-2013 Đề thi chọn đội tuyển trường PTNK 2012-2013 Ngày 1: Câu 1: Giải hệ: $$ \begin{cases} x+y &= \ 3; \\ xz+yt &= \ 5; \\ xz^2+yt^2 &= \ 41; \\ xz^3+yt^3 &= \ 121. \end{cases} $$ Câu 2: Cho dãy $(u_n)$ giảm và có giới hạn bằng $0$. Xét 2 dãy: $$ v_n=u_1+u_2+\cdots+u_n-nu_{n+1}, $$ $$ z_n=u_1+u_2+\cdots+u_n. $$ Chứng minh nếu $(v_n)$ bị chặn thì $(z_n)$ hội tụ. Câu 3: Cho tập $X = \{1;2;\ldots;4n \}$. Hai tập con $A$ và $B$ của $X$ được gọi là không giống nhau nếu $\|A \delta B\| \geq 2n+1$. Trong đó $A \delta B=(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$. Cho $\{ A_1;A_2;\ldots;A_m\}$ là tập con của $X$ gồm $m$ phần tử đôi một không giống nhau. a/Chứng minh $m \leq 2n$. b/Chứng minh $m \leq \frac{4(n+1)}{3}$ Câu 4:: Cho $\triangle ABC, M,N$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $\angle BAM = \angle CAN= \alpha$ ($M$ nằm giữa $B,N$). Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Kẻ $BH \perp AM, CK \perp AN$ lần lượt tại $H,K$. a/Chứng minh tâm đường tròn $(IHK)$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định. b/Tính $\alpha$ theo $\angle ABC$ và $\angle ACB$ sao cho $(IKH)$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$ hoặc đường tròn đường kính $AC$. thay đổi nội dung bởi: novae, 02-10-2012 lúc 07:29 PM

02-10-2012, 10:36 PM	#6
TNP +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2012 Đến từ: PTNK TPHCM Bài gởi: 180 Thanks: 487 Thanked 106 Times in 67 Posts	Cho em hỏi đề này các anh chị làm thế nào ạ, trung bình được bao nhiêu câu? __________________ Believe in yourself $\Leftrightarrow$ Believe in miracles

03-10-2012, 08:13 AM	#7
hqdhftw +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2011 Bài gởi: 133 Thanks: 81 Thanked 153 Times in 80 Posts	Te tua hết rồi em à, trừ anh Huy làm được 3.5 bài thì có 1 vài người (< 5 người) làm được khoảng 2 bài, còn lại 1.5 bài hoặc 1 bài hoặc tệ hơn. Đa số làm được bài hệ phương trình. Bài 4a cũng có ít người làm được, bài 4b thì đa số quên làm chiều đảo, bài 2 chỉ có 1 người làm được, bài 3a thì 3,4 người gì đó và 3b chưa ai làm được cả. Bài 3a hình như hoàn toàn tương tự bài hàm năm ngoái(năm ngoái câu b, năm nay nó thành câu a ) thay đổi nội dung bởi: hqdhftw, 03-10-2012 lúc 08:15 AM

04-10-2012, 05:30 PM	#15
pth_tdn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Đến từ: HCM City Bài gởi: 183 Thanks: 25 Thanked 240 Times in 122 Posts	Ngày thứ hai: 5/ a) Chứng minh rằng với mọi $x>0$ thì: $2(x^{\frac{4}{3}}+\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}+1) \geq 3(x+\frac{1}{x})$. b) Tìm số thực dương $a$ nhỏ nhất sao cho: $2(x^{a}+\frac{1}{x^{a}}+1) \geq 3(x+\frac{1}{x})$ với mọi $x>0$. 6/Tìm n tự nhiên sao cho $A_{n}=1+3^{20(n^2+n+1)}+9^{14(n^2+n+1)}$ là số nguyên tố. 7/ Tìm hàm số $f: N* \rightarrow N$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) $f(mf(n))=n^6.f(mn)$ ii) Với mọi $m, n$ nguyên tố cùng nhau thì $f(m), f(n)$ cũng nguyên tố cùng nhau. 8/ Cho tam giác ABC có $AB=AC$. H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC. (C) là một đường tròn đi qua H có tâm I di động trên đoạn AH. (C) cắt AB tại M, N và cắt AC tại P, Q sao cho M nằm giữa A và N, P nằm giữa A và Q. BP và BQ cắt (C) tại E, F. Chứng minh rằng giao điểm D của NE và MF là một điểm cố định. thay đổi nội dung bởi: congbang_dhsp, 26-06-2015 lúc 11:17 AM*

02-10-2012, 08:13 PM	#2
TrauBo Moderator Tham gia ngày: Oct 2011 Đến từ: Hội Fan của thầy Thái (VVT Fan Club) Bài gởi: 1,058 Thanks: 937 Thanked 1,249 Times in 433 Posts	Xử trước bài hệ. $$\begin{cases} x+y &= \ 3; \\ xz+yt &= \ 5; \\ xz^2+yt^2 &= \ 41; \\ xz^3+yt^3 &= \ 121. \end{cases} $$ Ý tưởng của ta là tính $zt$ và $z+t$. Đặt $a_k=xz^k+yt^k$ suy ra $$a_{k+1}=(z+t).a_k - zt.a_{k-1}\ ()$$ Từ hệ ta có $a_0=3 ; \ a_1=5 ; \ a_2 = 41; \ a_3 = 121$ Áp dụng () với $k=2, k=3$ ta có $$\begin{cases} 41=5(z+t)-3zt \\ 121=41(z+t)-5zt \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z+t=\dfrac{79}{49} \\ zt=\dfrac{-538}{49} \end{cases}$$ Suy ra $z, \ t$ là nghiệm của phương trình $49X^2-79X-538=0$. Gọi 2 nghiệm của phương trình này là $\alpha, \beta$. Giả sử $z=\alpha , t=\beta$ thay vào hệ đầu ta có $$\begin{cases} x+y=3 \\ \alpha x + \beta y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=\dfrac{3\beta - 5}{\beta - \alpha} \\ y=\dfrac{5-3\alpha }{\beta - \alpha} \end{cases}$$ Trường hợp $z=\beta, t=\alpha$ làm tương tự. Có được dùng máy tính không mà nghiệm xấu thế?

03-10-2012, 03:02 PM	#8
TNMinh_1996 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2011 Đến từ: HCM Bài gởi: 39 Thanks: 19 Thanked 15 Times in 10 Posts	Thường thì 4b đâu cần làm phần đảo đâu nhỉ ?

03-10-2012, 08:38 PM	#9
trungnhan05 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2012 Đến từ: THPT Nguyễn Du Q10 TPHCM Bài gởi: 32 Thanks: 4 Thanked 19 Times in 12 Posts	Anh Bảo Linh làm bài thế nào vậy các anh

04-10-2012, 06:13 AM	#12
leviethai +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2008 Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình. Bài gởi: 513 Thanks: 121 Thanked 787 Times in 349 Posts	Xử lý bài 2 vậy. Do $z_n$ là dãy tăng nên ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên là được. Giả sử $L$ là chặn trên của $v_n$, ta có do $x_n$ giảm nên $${z_n} - n{x_{n + 2}} \le {v_{n + 1}} = {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} + {x_{n + 1}} - (n + 1){x_{n + 2}} \le L.$$ Suy ra\[{z_n} \le L + n{x_{n + 2}}.\]Tương tự,\[{z_n} - n{x_{n + 3}} \le {v_{n + 2}} = {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} + {x_{n + 1}} + {x_{n + 2}} - (n + 2){x_{n + 3}} \le L.\]nên\[{z_n} \le L + n{x_{n + 3}}.\]Qua hai bước trên, làm tương tự, cho $n$ cố định, ta suy ra được\[{z_n} \le L + n\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {x_N} = L.\]Ta có điều phải chứng minh.