[Vòng 2] Ngày thứ nhất- Đề thi chọn HSG lớp 11-12 KHTN 2012-2013

[bboy114crew]

Câu 1: Cho n là số nguyên dương. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy $ xét các điểm $A(0,n),B(n,n),C(n,0) $ . Hỏi có tất cả bao nhiêu cặp điểm $(M,N) $ với $M,N $ có các tọa độ nguyên , nằm trên cạnh hoặc bên trong hình vuông $OABC $ và trung điểm của $MN $ thuộc đường chéo $OB $.

Câu 2: Tìm tất cả các bộ số nguyên $(a,b,c,d) $ thỏa mãn:
$a^2+7b^2=3c^2+2cd+5d^2 $.

Câu 3: Cho tam giác nhọn $ABC $$,D $ là một điểm thuộc đoạn $AC $ . Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác$ ABD $ cắt đoạn thẳng $BC $ tại $E $ khác $B $ . Tiếp tuyến tại $B, D $ của đường tròn ngoại tiếp tam giác$ ABD $ cắt nhau tại $T $ . $AT $ cắt đường tròn ngọai tiếp tam giác $ABD $ tại $F $ khác $A. CF $ giao$ DE $ tại $G. AG $ giao $BC $ tại $H. M $ là trung điểm của $AF $ . Chứng minh rằng $HN $ song song với $AT $.
Câu 4 :
1) Một chiếc bàn có $22 $ chiếc ghế . Tìm giá trị nhỏ nhất của $n $ sao cho nếu một nhóm $n $ người ngồi vào bàn thì luôn có hai người sao cho một trong hai phần của bàn bị ngăn bởi họ có đúng 2 hoặc 8 chiếc ghế.
2) Nếu ta xếp thêm một chiếc ghế nữa vào bàn và giưc nguyên các điều kiện còn lại thì giá trị nhỏ nhất cảu n là bao nhiêu?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranghieu95]

Nguyên văn bởi bboy114crew

Câu 3: Cho tam giác nhọn $ABC $$,D $ là một điểm thuộc đoạn $AC $ . Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác$ ABD $ cắt đoạn thẳng $BC $ tại $E $ khác $B $ . Tiếp tuyến tại $B, D $ của đường tròn ngoại tiếp tam giác$ ABD $ cắt nhau tại $T $ . $AT $ cắt đường tròn ngọai tiếp tam giác $ABD $ tại $F $ khác $A. CF $ giao$ DE $ tại $G. AG $ giao $BC $ tại $H. M $ là trung điểm của $AF $ . Chứng minh rằng $HN $ song song với $AT $.

Bn kiểm tra lại đề câu này thử. N là điểm nào?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi bboy114crew

Câu 1: Cho n là số nguyên dương. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy $ xét các điểm $A(0,n),B(n,n),C(n,0) $ . Hỏi có tất cả bao nhiêu cặp điểm $(M,N) $ với $M,N $ có các tọa độ nguyên , nằm trên cạnh hoặc bên trong hình vuông $OABC $ và trung điểm của $MN $ thuộc đường chéo $OB $.

OB chia hình vuông thành 2 nửa, dễ thấy với mỗi điểm A, qua A kẻ đường thẳng $d_a$ song song với OB , sau đó kẻ $d_b$ đối xứng $d_a$ qua BO, với mỗi điểm ở d_a thì tất các điểm nguyên ở $d_b$ đều thỏa mãn. như vậy số cặp sẽ là bình phương số điểm nguyên ở d_a, cho nên tất cả số cặp là $1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2+n^2$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranghieu95]

Nguyên văn bởi daylight

OB chia hình vuông thành 2 nửa, dễ thấy với mỗi điểm A, qua A kẻ đường thẳng $d_a$ song song với OB , sau đó kẻ $d_b$ đối xứng $d_a$ qua BO, với mỗi điểm ở d_a thì tất các điểm nguyên ở $d_b$ đều thỏa mãn. như vậy số cặp sẽ là bình phương số điểm nguyên ở d_a, cho nên tất cả số cặp là $1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2$

Mình nghĩ là $n(n+1)+n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+...+1$ ko biết có đúng ko
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[symaoxinhxan]

Mình không biết bài này có tính số cặp điểm trùng nhau không nhỉ?
Nếu mà tính thì theo mình là $1+2^2+..+n^2+(n+1)^2 $
Còn nếu mà không tính thì là $1+2^2+..+n^2 +(n+1)n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ladykillah96]

Nguyên văn bởi bboy114crew

Câu 1: Cho n là số nguyên dương. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy $ xét các điểm $A(0,n),B(n,n),C(n,0) $ . Hỏi có tất cả bao nhiêu cặp điểm $(M,N) $ với $M,N $ có các tọa độ nguyên , nằm trên cạnh hoặc bên trong hình vuông $OABC $ và trung điểm của $MN $ thuộc đường chéo $OB $.

Chia các đoạn $OA, OB, OC $ thành $n $ đoạn bằng nhau:

$OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = ... = A_{n-1}A $

$OB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = ... = B_{n-1}B $

$OC_1 = C_1C_2 = C_2C_3 = ... = C_{n-1}C $

với $A_1, A_2, ... , A_{n-1}; B_1, B_2, ..., B_{n-1}; C_1, C_2, ... , C_{n-1} $ đều là những điểm nguyên.
Vậy, trên mỗi đoạn $OA, OB, OC $ đều có $n+1 $ điểm nguyên.
Do đó số điểm nguyên trên toàn hình vuông $OABC $ là $(n+1)^2 $.
Nếu $M $ có thể trùng với $N $, số cặp điểm $(M, N) $ sẽ bằng một nửa tổng của số điểm nguyên trên toàn hình vuông với số điểm nguyên trên 1 đường chéo, do đó số cặp điểm $(M, N) $ là:

$\dfrac{(n+1)^2 + (n+1)}{2} = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2} $.

Nếu $M \neq N $, số cặp điểm $(M, N) $ sẽ bằng một nửa hiệu của số điểm nguyên trên toàn hình vuông với số điểm nguyên trên 1 đường chéo, do đó số cặp điểm $(M, N) $ là:

$\dfrac{(n+1)^2 - (n+1)}{2} = \dfrac{n(n+1)}{2} $.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pth_tdn]

2/ $3a^2+21b^2=(3c+d)^2+14d^2 \Leftrightarrow 3a^2-x^2=7(2d^2-3b^2) $, $x=3c+d $.
Do một scp chia 7 chỉ có thể nhận dư thuộc ${0;1;2;4} $ mà $3a^2-x^2 \vdots 7 $ nên $7|a; 7|x $.
Suy ra $2d^2-3b^2 \vdots 7 $, tương tự có $7|d, 7|b $.
Giả sử pt có nghiệm $(a,b,x,d) $ khác $(0,0,0,0) $.
Đặt $a_1, b_1, x_1, d_1 $ là nghiệm có $|a_1|+...+|d_1| min $
Tương tự ta có $7|a_1;...;7|d_1 $ hay $a_2=\frac{a_1}{7},..., d_2=\frac{d_1}{7} $ cũng là nghiệm của pt, mà $|a_2|+...+|d_2| < |a_1|+...+|d_1| $, vô lí
Vậy pt chỉ có nghiệm $a=b=c=d=0 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khanhkhtn]

Nguyên văn bởi bboy114crew

Câu 1: Cho n là số nguyên dương. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy $ xét các điểm $A(0,n),B(n,n),C(n,0) $ . Hỏi có tất cả bao nhiêu cặp điểm $(M,N) $ với $M,N $ có các tọa độ nguyên , nằm trên cạnh hoặc bên trong hình vuông $OABC $ và trung điểm của $MN $ thuộc đường chéo $OB $.

Bài này mình nghĩ kết quả là:$$[\frac{n}{2}]+\frac{n(n+1)}{2}$$
Chia hình vuông thành 2 phần bởi đường chéo chính. Với mỗi điểm $M$ hoặc $N$ nằm trên đường chéo chính thì điểm còn lại cũng nằm trên đường chéo chính, số cặp điểm sẽ là: $$[\frac{n}{2}]$$("[]" là kí hiệu phần nguyên)
Nếu $M,N$ không nằm trên đường chéo chính khi đó với mỗi một điểm nguyên thuộc nửa hình vuông trên (không tính các điểm thuộc $OB$) sẽ tồn tại 1 điểm duy nhất đối xứng qua trung điểm $OB$ thuộc nửa hình vuông còn lại. Có tất cả $(n+1)+n+...+1-(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}$(điểm nguyên) không thuộc đường chéo chính và nằm trên 1 nửa hình vuông.Như vậy số cặp điểm $MN$ sẽ là:$$[\frac{n}{2}]+\frac{n(n+1)}{2}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nghiepdu-socap]

Nếu mình không nhầm thì bài 4 kết quà là 11 cho câu a và 10 cho câu b
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Chém Gió]

Bài 1 đáp án chính xác là $1^2+2^2+\cdots+n^2+{n+1\choose 2}$ nếu không tính đến $M,N$ trùng nhau và $1^2+2^2+\cdots+n^2+{n+2\choose 2}$ nếu tính cả $M,N$ trùng nhau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[whatever2507]

Nguyên văn bởi nghiepdu-socap

Nếu mình không nhầm thì bài 4 kết quà là 11 cho câu a và 10 cho câu b

Nếu xếp 11 người xen kẽ với ghế thì vẫn không được mà bạn, theo mình làm thì câu a ra n=12 còn câu b đang không biết là 9 hay 10
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vmcuong]

DM cắt AE tại N
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Longa2toan]

A:12,b:????
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nghiepdu-socap]

Nguyên văn bởi whatever2507

Nếu xếp 11 người xen kẽ với ghế thì vẫn không được mà bạn, theo mình làm thì câu a ra n=12 còn câu b đang không biết là 9 hay 10

À mình đọc nhầm đề. Phải là 12 và 11
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[whatever2507]

Nguyên văn bởi nghiepdu-socap

À mình đọc nhầm đề. Phải là 12 và 11

Bạn chứng minh được câu b ra n=11 không? Mình vẽ mãi vẫn không ra được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]