Chứng minh BĐT

[High high]

Chứng minh BĐT sau với n dương
$$2\left( \sqrt{n+1}-1 \right)<\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}< 2\sqrt{n}$$
Hy vọng sẽ nhận được một lời giải tự nhiên. Không sử dụng quy nạp để chứng minh nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khanhkhtn]

Nguyên văn bởi High high

Chứng minh BĐT sau với n dương
$$2\left( \sqrt{n+1}-1 \right)<\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}< 2\sqrt{n}$$
Hy vọng sẽ nhận được một lời giải tự nhiên. Không sử dụng quy nạp để chứng minh nhé

Bài này thực ra rất quen thuộc với những ai tinh tế trong nhận biết đẳng thức liên hợp:

$2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\le \frac{1}{\sqrt{k}}\le \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$
thay $k=1,2,3,..n$ suy ra:$$2\left( \sqrt{n+1}-1 \right)<\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}}< 2\sqrt{n}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[levietbao]

Bài toán này có thể tổng quát như sau :
Chứng minh rằng $$ p(\sqrt[p]{n+1}-1)<\frac{1}{\sqrt[p]{1}}+\frac{1}{\sqrt[p]{2^{p-1}}}+...+\frac{1}{\sqrt[p]{n^{p-1}}}< p\sqrt[p]{n},p\in N,p\ge 2 $$
Cách chứng minh bằng bất đẳng thức AM-GM còn có cách khác là dùng đánh giá rất đẹp sau ( đó là hệ quả rút ra từ định lý Lagrang) có nhiều ứng dụng trong chứng minh bdt: Nếu $f''(x)<0$ thì
$$ f(n+1)-f(1)<\sum\limits_{i=1}^{n}f^{'}(i)<f(n)-f(0) $$
Trái lại thì nếu $f''(x)>0$bdt trên đổi chiều.
Áp dụng vào bài toán trên với hàm $ f(x)=p\sqrt[p]{x} $ có $f''(x)<0$ thay vào bdt trên ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khanhkhtn]

Nguyên văn bởi levietbao

Nếu $f''(x)<0$ thì
$$ f(n+1)-f(1)<\sum\limits_{i=1}^{n}f^{'}(i)<f(n)-f(0) $$
Trái lại thì nếu $f''(x)>0$bdt trên đổi chiều.

Kết quả này đẹp đấy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]