Một số kết quả đẹp về số Pi ($\pi$)

[magician_14312]

Lời giải cho 3 đẳng thức đầu tiên bằng công cụ là chuỗi số. Vì $0 \le x <1$, ta có:
$$\frac{\sin \pi x}{\pi x}=\prod_{n=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{x^2}{n^2} \right )$$
Lấy $\ln$ cẩ 2 vế, ta thu được:
$$\ln \frac{\sin \pi x}{\pi x} =\sum_{n=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{x^2}{n^2} \right )$$
Sử dụng khai triển Taylor cho hàm số $\displaystyle \ln(1-z)=-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}x^m$, có được $\displaystyle \ln(1-\frac{x^2}{n^2})=-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}\frac{x^{2m}}{n^{2m} }$. Do đó,
$$\sum_{n=1}^{\infty}\ln(1-\frac{x^2}{n^2})=-\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m} \frac{x^{2m}}{n^{2m}}$$
Dễ thấy chuỗi kép trên hội tụ, do đó:
$$\begin{align*}
&-\ln\frac{\sin \pi x}{\pi x}=-\sum_{n=1}^{\infty}\left ( 1-\frac{x^2}{n^2} \right )=\sum_{m=1}^{\infty}\left ( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2m}} \right )\frac{x^{2m}}{m}\\
&= x^2.\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}+\frac{x^4}{2}.\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}+\frac{x^6}{3} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^6}+... \,\ (1)
\end{align*}$$
Mặt khác, sử dụng khai triển Taylor, ta lại được:
$$\begin{align*}
-\ln \frac{\sin \pi x}{\pi x} &=-\ln\left [ 1-\left ( \frac{\pi^2 x^2}{2!} -\frac{\pi^4 x^4}{4!}+\frac{\pi^6 x^6}{6!}+...\right ) \right ] \\
&= \left ( \frac{\pi^2 x^2}{2!} -\frac{\pi^4 x^4}{4!}+\frac{\pi^6 x^6}{6!}+...\right )+\frac{1}{2}\left ( \frac{\pi^2 x^2}{2!} -\frac{\pi^4 x^4}{4!}+\frac{\pi^6 x^6}{6!}+...\right )^2+...\\
&= \frac{\pi^2}{3!}x^2+\left ( -\frac{\pi^4}{5!} +\frac{\pi^4}{2.(3!)^2}\right )x^4+\left ( \frac{\pi^6}{7}-\frac{\pi^6}{3!.5!}+\frac{\pi^6}{3.(3!)^3} \right )x^6\\
&=\frac{\pi^2 x^2}{6}+\frac{\pi^4 x^4}{180}+\frac{\pi^6 x^6}{2835}+... \,\ (2)
\end{align*}$$
Cho vế trái của (1) và (2) bằng nhau, ta có:
$$\frac{\pi^2 x^2}{6}+\frac{\pi^4 x^4}{180}+\frac{\pi^6 x^6}{2835}+... =x^2 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+\frac{x^4}{2}\sum _{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}+\frac{x^6}{3}\sum_{n= 1}^{\infty}\frac{1}{n^6}+...$$
So sánh hệ số của số hạng có chưa $x$, ta thu được các đẳng thức:
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} , \,\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}, \,\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^6}=\frac{\pi^6}{945} .$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]