Thặng dư bậc 2

[dsonn]

Định nghĩa: Cho số nguyên a và số nguyên tố p, a gọi là thặng dư bậc hai (hay chính phương) mod p nếu tồn tại số nguyên x thỏa mãn $x^2\equiv{a}(modp) $, a không là thặng dư bậc hai mod p ta nói a là bất thặng dư bậc hai (không chính phương) mod p.
Định lí 1: Nếu a là thặng dư bậc hai mod p (p nguyên tố lẻ) thì phương trình $x^2\equiv{a}(modp) $ có đúng hai nghiệm (thặng dư modp).
Định lí 2: Trong hệ thặng dư thu gọn mod p (p nguyên tố lẻ) có $\frac{p-1}{2} $ thặng dư bậc hai cùng lớp với các thặng dư$1^2,2^2,(\frac{p-1}{2})^2 $ và có $\frac{p-1}{2} $ bất thặng dư bậc hai modp.
Định Lí 3:Điều kiện cần và đủ để a là thặng dư bậc hai mod p (p nguyên tố lẻ) là $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv{1}(modp) $
Điều kiện cần và đủ để a là bất thặng dư bậc hai mod p (p nguyên tố lẻ) là $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv{-1}(modp) $
Các bạn giải các bài tập sau nhé:
1. Cho số nguyên tố lẻ P, chứng minh rằng: (-1) là chính phương mod p khi và chỉ khi $p\equiv{1}(mod4) $.
2. Tìm số nguyên tố lẻ p sao cho (-2) là số chính phương mod p.
3. Cho p là số nguyên tố dạng 3k+2. Chứng minh rằng (-3) không chính phương modp.
Các bạn có những bài tập liên quan post lên cùng trao đổi nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]