Tính khớp của hàm tử Hom

[MathForLife]

Mình muốn kiểm tra tính đúng sai của bài toán này mong mọi người giúp đỡ.
*) Cho dãy nửa khớp $A \overset{\alpha}{\rightarrow} B \overset{\beta}{\rightarrow}C$
Giả sử có dãy sau là khớp $Hom(X,A)\overset{\alpha_{*}}{\rightarrow} Hom(X,B) \overset{\beta_{*}}{\rightarrow}Hom(X,C)$
Trong đó $X$ cố định, $A,B,C,X$ thuộc $Mod$ và $\alpha_{*}$ là đồng cấu cảm sinh của $\alpha$ được định nghĩa:
$\alpha_{*}: Hom(X,A) \rightarrow Hom(X,B) $
$ f\rightarrow \alpha_{*}(f)=\alpha f $
Thì dãy nửa khớp đã cho cũng khớp
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luciasiti]

Nguyên văn bởi MathForLife

Mình muốn kiểm tra tính đúng sai của bài toán này mong mọi người giúp đỡ.
*) Cho dãy nửa khớp $A \overset{\alpha}{\rightarrow} B \overset{\beta}{\rightarrow}C$
Giả sử có dãy sau là khớp $Hom(X,A)\overset{\alpha_{*}}{\rightarrow} Hom(X,B) \overset{\beta_{*}}{\rightarrow}Hom(X,C)$
Trong đó $X$ cố định, $A,B,C,X$ thuộc $Mod$ và $\alpha_{*}$ là đồng cấu cảm sinh của $\alpha$ được định nghĩa:
$\alpha_{*}: Hom(X,A) \rightarrow Hom(X,B) $
$ f\rightarrow \alpha_{*}(f)=\alpha f $
Thì dãy nửa khớp đã cho cũng khớp

Nói chung, bài toán trên không đúng. Lấy một ví dụ sau
Xét trên vành các số nguyên $\mathbb{Z}$.
Xét dãy $4\mathbb{Z} \overset{\alpha}{\rightarrow}\mathbb{Z}\ \overset{\beta}{\rightarrow} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $ (1). Trong đó
$\alpha : 4\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}, 4x \mapsto 4x$ và
$\beta: \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, x \mapsto x+2\mathbb{Z}$.
Khi đó ta có $Im\alpha=4\mathbb{Z}$ và $Ker\beta = 2\mathbb{Z}$, rõ ràng dãy (1) chỉ là nửa khớp.
Xét dãy
$Hom(\mathbb{Q},4\mathbb{Z}) \overset{\alpha_{*}}{\rightarrow} Hom(\mathbb{Q},\mathbb{Z}) \overset{\beta_{*}}{\rightarrow} Hom(\mathbb{Q},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ (2)
vì chỉ có duy nhất đồng cấu không từ $\mathbb{Q}$ vào $\mathbb{Z}$ dễ dàng kiểm tra dãy (2) là khớp. Tuy nhiên dãy (1) chỉ là nửa khớp mà thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]