Một vài bài bất đẳng thức

[vokhachuyy]

1. $ \frac{1}{1+a^{3}}\ + \frac{1}{1+b^{3}}\ + \frac{1}{1+c^{3}} &\le \frac{3}{2abc} $ với $a,b,c \in (0,1] $
2. cho $a,b,c \in (0,1) $ và $a+b+c=2 $
CMR:
$ T =\frac{a}{1-b}+\frac{b}{1-c}+\frac{c}{1-a} \ge 6 $
3. cho $a,b,c>0 $ và $a+b+c=1 $ CMR: $ T=\frac{b+c}{a} + \frac{a+c}{b} + \frac{a+b}{c} \ge \frac{2}{\sqrt{3abc}} $
4.cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2 \le 3 $ . CMR:
$ a^2 + b^2 + c^2 +3abc \le 2(a+b+c) $
5. cho a,b,c>0 và a+b+c=1 .CMR:
$(a-bc)(b-ca)(c-ab) \le 8(abc)^2 $
6. Cho $a^2 + b^2 + c^2 -4a+2c \le 0 $. Tìm Max, Min của S= 2a+3b-2c
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tinnguyen]

Theo BDT Jensen thì $VT \leq \frac{3}{1+abc} \leq \frac{3}{2abc}. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathForLife]

Nguyên văn bởi vokhachuyy

1. $ \frac{1}{1+a^{3}}\ + \frac{1}{1+b^{3}}\ + \frac{1}{1+c^{3}} &\le \frac{3}{2abc} $ với $a,b,c \in (0,1] $
2. cho $a,b,c \in (0,1) $ và $a+b+c=2 $
CMR:
$ T =\frac{a}{1-b}+\frac{b}{1-c}+\frac{c}{1-a} \ge 6 $
3. cho $a,b,c>0 $ và $a+b+c=1 $ CMR: $ T=\frac{b+c}{a} + \frac{a+c}{b} + \frac{a+b}{c} \ge \frac{2}{\sqrt{3abc}} $
4.cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2 \le 3 $ . CMR:
$ a^2 + b^2 + c^2 +3abc \le 2(a+b+c) $
5. cho a,b,c>0 và a+b+c=1 .CMR:
$(a-bc)(b-ca)(c-ab) \le 8(abc)^2 $
6. Cho $a^2 + b^2 + c^2 -4a+2c \le 0 $. Tìm Max, Min của S= 2a+3b-2c

Bài 2:
$VT=\frac{2-b-c}{1-b}+\frac{2-c-a}{1-c}+\frac{2-a-b}{1-a}=3+\frac{1-c}{1-b}+\frac{1-a}{1-c}+\frac{1-b}{1-a}\geq 3+3=6 $
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow $ a=b=c=2/3.
Bài 3:
BDT đã cho tương đương với:
$bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)\geq \frac{2}{3}\sqrt{3abc(a+b+c)} (a+b+c=1) $
Ta có: $\sqrt{3abc(a+b+c)}\leq ab+bc+ca=(ab+bc+ca)(a+b+c) $
Chỉ cần chứng minh:
$3(bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b))\geq 2(ab+bc+ca)(a+b+c) $
$\Leftrightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2\geq 0 $ (đúng).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]