Một bài chia hết

**chemthan** · 12-03-2010, 12:35 PM

Bài này quen rồi mà.
Suy ra $a,b $ có chung tập ước nguyên tố.
$a=\prod_{i=1}^{n}{p_i^{\alpha_i}}, b=\prod_{i=1}^{n}{p_i^{\beta_i}} $.

alltheright · 12-03-2010, 06:01 PM

Trích:

Nguyên văn bởi chemthan

Bài này quen rồi mà.
Suy ra $a,b $ có chung tập ước nguyên tố.
$a=\prod_{i=1}^{n}{p_i^{\alpha_i}}, b=\prod_{i=1}^{n}{p_i^{\beta_i}} $.

Đoạn này thì ai mà chả làm đến được hả anh cái chính là phần sau sử lý như thế nào cơ

**chemthan** · 12-03-2010, 06:05 PM

So sánh các số mũ của $p_i $ rồi sử dụng bất đẳng thức.
Nó chỉ mang ý nghĩa hình thức chứ thực ra có tư tưởng gì mới đâu mà phải quan tâm!

alltheright · 12-03-2010, 06:10 PM

Nói thì dễ mà làm thì khó anh ạ

Anh thử post bài giải cẩn thận cho em tham khảo được không ạ

**chemthan** · 13-03-2010, 02:50 PM

Trích:

Nguyên văn bởi alltheright

Nói thì dễ mà làm thì khó anh ạ

Anh thử post bài giải cẩn thận cho em tham khảo được không ạ

Nếu $a=1 $ thì $b=1 $ và ngược lại.
Nếu $a,b>1 $, suy ra $a,b $ có cùng tập ước nguyên tố.
Giả sử $a=\prod_{i=1}^n{p_i^{\alpha_i}}, b=\prod_{i=1}^n{p_i^{\beta_i}} $.
$\Rightarrow \alpha_i.b^2=\beta_i.a $, hay là:
$\frac{b^2}{a}=\frac{\beta_i}{\alpha_i} $.
*) Nếu $b>a $ suy ra $\beta_i>\alpha_i $, với mọi $i $.
Khi đó ta có:
$\frac{b^2}{a}=\prod_{i=1}^n{p_i^{2\beta_i-\alpha_i}}>\prod_{i=1}^n{p_i^{\beta_i}}>\prod_{i=1 }^n{\beta_i}\geq \frac{\beta_i}{\alpha_i} $, vô lý.
*) Nếu $b\leq a $ suy ra $\beta_i\leq \alpha_i $, với mọi $i $. Suy ra $b^2 \leq a $.
Nếu $b^2=a $ thì $a=b=b^2 $, hay $b=1 $, vô lý.
Vậy $b^2<a $
Do đó $2\beta_i < \alpha_i $, với mọi $i $.
Khi đó ta có:
$\Rightarrow \alpha_i\vdots \beta_i $, $\alpha_i=k.\beta_i, k>2 $.
$\prod_{i=1}^n{p_i^{\alpha_i-2\beta_i}}=\frac{\alpha_i}{\beta_i}=k $
Mặt khác $k=\prod_{i=1}^n{p_i^{\alpha_i-2\beta_i}}=\prod_{i=1}^n{p_i^{(k-2).\beta_i}}\geq \prod_{i=1}^n{p_i^{k-2}}\geq (2^{k-2})^n $.
Bất đẳng thức này chỉ đúng với $n=1, k\leq 4 $.
+) Với $k=3 $, ta có:
$3=p^{\beta} $, suy ra $p=3, \beta=1 $.
Ta được $a=27, b=3 $.
Với $k=4 $, ta có $p=2, \beta=1, \alpha=4 $.
+) Ta được $a=16,b=2 $.

alltheright · 13-03-2010, 05:10 PM

Trích:

Nguyên văn bởi chemthan

*) Nếu $b\leq a $ suy ra $\beta_i\leq \alpha_i $, với mọi $i $.

Cái này hình nưh không đúng anh ạ

Anh thử kiểm tra lại xem

**chemthan** · 13-03-2010, 05:22 PM

Nếu $b\leq a $ suy ra tồn tại $i $ sao cho $\beta_i\leq \alpha_i $. Nhưng từ $\frac{b^2}{a}=\frac{\beta_i}{\alpha_i} $, với mọi $i $, suy ra bất đẳng thức này đúng với mọi $i $.

12-03-2010, 12:35 PM	#1
chemthan Administrator Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 349 Thanks: 0 Thanked 308 Times in 161 Posts	Bài này quen rồi mà. Suy ra $a,b $ có chung tập ước nguyên tố. $a=\prod_{i=1}^{n}{p_i^{\alpha_i}}, b=\prod_{i=1}^{n}{p_i^{\beta_i}} $.

12-03-2010, 06:05 PM	#3
chemthan Administrator Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 349 Thanks: 0 Thanked 308 Times in 161 Posts	So sánh các số mũ của $p_i $ rồi sử dụng bất đẳng thức. Nó chỉ mang ý nghĩa hình thức chứ thực ra có tư tưởng gì mới đâu mà phải quan tâm!

12-03-2010, 06:10 PM	#4
alltheright +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 203 Thanks: 109 Thanked 33 Times in 26 Posts	Nói thì dễ mà làm thì khó anh ạ Anh thử post bài giải cẩn thận cho em tham khảo được không ạ

13-03-2010, 05:22 PM	#7
chemthan Administrator Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 349 Thanks: 0 Thanked 308 Times in 161 Posts	Nếu $b\leq a $ suy ra tồn tại $i $ sao cho $\beta_i\leq \alpha_i $. Nhưng từ $\frac{b^2}{a}=\frac{\beta_i}{\alpha_i} $, với mọi $i $, suy ra bất đẳng thức này đúng với mọi $i $.