|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
23-06-2012, 02:56 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2010 Bài gởi: 5 Thanks: 1 Thanked 3 Times in 1 Post | Đề thi SMO (Singapore Mathematical Olympiad) 2012 1. Cho đường tròn $w$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với $AB$ tại $A$, cắt $BC$ tại $D$ và phần mở rộng của $BC$ tại $E$. $CI$ cắt đường tròn $w$ tại $M$ Chứng minh rằng $MD=ME$. 2. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $n$ bằng vởi tổng bình phương của các chữ số tạo nên $n$. 3. Cho 1 bảng vuông $9 \times 9$, có $46$ ô được tô màu đỏ. Chứng minh rằng luôn có 1 block $2\times 2$ mà có ít nhất 3 ô được tô đỏ. 4. Cho dãy số:${a_0},{a_1},...,{a_n},{a_{n + 1}}$ thỏa mãn: $${a_0} = {a_{n + 1}} = 0$$ $$\left| {{a_{k - 1}} - 2{a_k} + {a_{k + 1}}} \right| \le 1$$ với mọi $k = 1,2,...,n$ Chứng minh rằng: $$\left| {{a_k}} \right| \le \frac{{k(n + 1 - k)}}{2}$$ với $k = 1,2,...,n$ 5. Cho $a,b,c,d \ge 0$ thỏa mãn $a + b = c + d = 2$ Chứng minh rằng : $$({a^2} + {c^2})({a^2} + {d^2})({b^2} + {c^2})({b^2} + {d^2}) \le 25$$ Hết. Nguyên bản đề bằng tiếng anh nhưng em đã dịch tạm ra tiếng việt, đôi chỗ dịch hơn bị dở mong mọi người thông cảm thay đổi nội dung bởi: thephuong, 23-06-2012 lúc 03:17 PM |
The Following 3 Users Say Thank You to canhlop9 For This Useful Post: |
23-06-2012, 03:26 PM | #2 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: May 2011 Đến từ: Biên Hòa-Đồng Nai Bài gởi: 862 Thanks: 206 Thanked 503 Times in 295 Posts | Bài hình học khá là khoai Biến đổi góc như sau: $\angle{IAC}=\angle{BAI}=\angle{AMI}$ Do đó suy ra tam giác $IAC$ và tam giác $IMA$ đồng dạng. Từ đó suy ra $\angle{ICA}=\angle{IAM}$ hay $\angle{ICD} = \angle{IAM}$. Nói cách khác cung $DM$ và cung $ME$ bằng nhau hay $DM=ME$. __________________ You've set my heart soaring Ma đáng yêu |
The Following User Says Thank You to thephuong For This Useful Post: | pqhoai (23-06-2012) |
23-06-2012, 03:44 PM | #3 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: May 2011 Đến từ: Biên Hòa-Đồng Nai Bài gởi: 862 Thanks: 206 Thanked 503 Times in 295 Posts | Bài 2 làm như sau: Gọi số các chữ số của số n là a thì ta có: $n\le 9^2.a <10^2.a$ Hơn nữa $10^{a-1}< a < 10^a$ Do đó $10^{a-3}<a.$ Ta có thể chứng minh rằng với $a>3$ và $a$ là số tự nhiên thì $10^{a-3}>a$ dễ dàng bằng quy nạp. Do đó $a\le 3$ Nếu $a=3.$ đặt $n =\overline{abc} = a^2+b^2+c^2 \le 3.9^2=243$. Do đó $a \le 2$. Suy ra $n=a^2+b^2+c^2\le 4+9^2.2=166$ Do đó $a \le 1$. Hay $a=1$ vì $a$ phải khác $0$. Từ đó suy ra $100+10b+c=1+b^2+c^2$ do đó $99+b(10-b)=c(c-1)$ Mặt khác lại có $99\le 99+b\le 99+b(10-b) = c(c-1) \le 8.9=72$ Do đó ta có điều vô lý! Nếu $a=2$ Suy ra: $10a+b=a^2+b^2$ hay $a(10-a)=b(b-1)$ do đó $a$ là số chẵn (vì vế phải là tích của hai số cùng tính chẵn lẻ và vế trái là số chẵn) Từ đó bằng phép thử suy ra ko có số nào thỏa mãn. Nếu $a=1$ thì số cần tìm là $n=1$ và $n=0$. __________________ You've set my heart soaring Ma đáng yêu |
23-06-2012, 04:23 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2010 Bài gởi: 5 Thanks: 1 Thanked 3 Times in 1 Post | Bài hình thì khá ok em có thể làm được. Nhưng bài 2 thì em không rõ nữa có thể là \[{a^2} + {b^2}\] hoặc là \[{(a + b)^2}\] |
23-06-2012, 04:52 PM | #5 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: May 2011 Đến từ: Biên Hòa-Đồng Nai Bài gởi: 862 Thanks: 206 Thanked 503 Times in 295 Posts | Tổng bình phương chứ có phải bình phương tổng đâu. Hic máy nhà rớt mạng, lên bằng đt không giải tiếp được __________________ You've set my heart soaring Ma đáng yêu |
23-06-2012, 06:21 PM | #6 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 551 Thanks: 877 Thanked 325 Times in 188 Posts | Trích:
Theo AM-GM ta thu được : $({a^2} + {c^2})({a^2} + {d^2})({b^2} + {c^2})({b^2} + {d^2})=[(a^2+c^2)(b^2+d^2)][(a^2+d^2)(b^2+c^2)] $ $=(a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2)(a^2b^2+a^2c^2+b^2d^ 2+c^2d^2) \le \frac{(2a^2b^2+2c^2d^2+a^2d^2+b^2c^2+a^2c^2+b^2d^2 )^2}{4} $ Ta cần chứng minh $2a^2b^2+2c^2d^2+a^2d^2+b^2c^2+a^2c^2+b^2d^2=2a^2b^ 2+2c^2d^2+(a^2+b^2)(c^2+d^2) =2(a^2b^2+c^2d^2)+(4-2ab)(4-2cd) $ $=2(a^2b^2+c^2d^2)+16+4a^2b^2-8(ab+cd) =2(ab+cd)^2-8(ab+cd)+16\le 10 $ $\Leftrightarrow (ab+cd)^2-4(ab+cd)+3 =(ab+cd-1)(ab+cd-3) \le 0 $ Dễ dàng thấy rằng $0 \le ab,cd \le 1 $ suy ra $ab+cd \le 3. $ Vậy bài toán đã đúng nếu $ab+cd \ge 1. $ Xét trường hợp ngược lại $ab+cd \le 1. $ Cố định $c,d $ và xem xét: $f(a)=({a^2} + {c^2})({a^2} + {d^2})({(a-2)^2} + {c^2})({(a-2)^2} + {d^2}) $ Ta có: $f(a)=({a^2} + {c^2})({a^2} + {d^2})({(2-a)^2} + {c^2})({(a-2)^2} + {d^2}) $ $f'(a)=2a({a^2} + {d^2})({b^2} + {c^2})({b^2} +{d^2})+2a({a^2} + {c^2})({b^2} + {c^2})({b^2} + {d^2})+2(a-2)({a^2} + {c^2})({a^2} + {d^2})({b^2} + {d^2}) +2(a-2)({a^2} + {c^2})({a^2} + {d^2})({b^2} + {c^2}) $ $\Rightarrow \frac{f'(a)}{2({a^2} + {c^2})({a^2} + {d^2})({b^2} + {c^2})({b^2} + {d^2}) }=\frac{a}{a^2+c^2}+\frac{a}{a^2+d^2}+\frac{a-2}{b^2+c^2}+\frac{a-2}{b^2+d^2} $ Ta sẽ chứng minh $f'(a) \ge 0. $ Thật vậy: $\frac{a}{a^2+c^2}+\frac{a}{a^2+d^2}-\frac{b}{b^2+c^2}-\frac{b}{b^2+d^2} \ge 0 $ $\Leftrightarrow \frac{(a-b)(c^2-ab)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}+\frac{(a-b)(d^2-ab)}{(a^2+d^2)(b^2+d^2)} \ge 0 $ Ta có $d^2 \ge ab $ ( nếu như vậy thì $c^2 \ge ab $). Thật vậy giả sử $ab >d^2. $ Do $1 \ge ab+cd >cd+d^2=d(c+d)=2d \ge 2b. $ Từ giả thiết suy ra $a >\frac{3}{2} $ và $c >\frac{3}{2} $ trái với $1 \ge ab+cd. $ Vậy ta đã có $f(a) $ là hàm đồng biến, suy ra $f(a) \le f(2). $ Ta cần chứng minh : $c^2d^2(4+c^2)(4+d^2) \le 25. $ Sử dụng AM-GM kết hợp giả thiết $c+d=2 $ thì không khó để chứng minh BDT trên. Và bài toán được hoàn thành. | |
23-06-2012, 08:13 PM | #7 |
+Thành Viên+ | Bài 3: có một cách hơi thủ công. Gs có thể tô đỏ 46 ô mà mỗi hình vuông $2\times 2 $ có tối đa 2 ô được tô. Khi đó hình vuông $8\times 8 $ở góc trên cùng bên trái có tối đa 32 ô được tô, suy ra 17 ô còn lại có 14 ô được tô, và trong 3 ô ở góc thì ta phải không tô ít nhất một ô. Trên hàng cuối và cột tận cùng bên phải này có tối đa 3 ô không tô đỏ và chỉ có ô kề với nó ở hàng( cột) thứ 8 mới có thể được tô. Nếu ở 3 ô ở góc có đúng 1 ô không tô thì ô ở góc hình $8\times 8 $ không thể tô, suy ra dù tô 14 ô này thế nào thì ở hàng( cột) thứ 8 của hình vuông $8\times 8 $ có tối đa 2 ô được tô. Suy ra hình vuông $7\times 7 $ trên góc trái phải có ít nhất $46-2-14=30 $ ô được tô, tương tự suy ra hình vuông $5\times 5 $ ở góc trái có ít nhất $30-12-2=16 $ ô được tô. Tương tự suy ra hình vuông $3\times 3 $ ở góc trái có ít nhất $16-8-1=7 $ ô được tô. Và trong hình này sẽ có một block $2\times 2 $ có 3 ô đỏ, mâu thuẫn. Suy ra điều giả sử sai, ta có ĐPCM Cũng có thể chỉ ra cách tô với 45 ô: tô mỗi cột 5 ô mà không có 2 ô nào kề nhau trên mỗi cột. __________________ Quay về với nơi bắt đầu thay đổi nội dung bởi: kien10a1, 23-06-2012 lúc 08:26 PM |
23-06-2012, 09:49 PM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2011 Đến từ: T1K20- Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 213 Thanks: 155 Thanked 145 Times in 89 Posts | Bài dãy số mình làm thế này nhé Đặt $b_k = \frac{k(n+1-k)}{2} $ Ta cần chứng Minh : $\mid{a_i}\mid \le b_i $ Ta có $b_{k-1} - 2b_k+ b_{k+1} = -1 $ Đặt tiếp $u_k = a_k - b_k $ và $v_k = a_k + b_k $ Ta có $\begin{cases} u_{k-1} -2u_k+u_{k+1} \ge 0 \\ v_{k-1} -2v_k+v_{k+1} \le 0 \end{cases} $ (1) Gỉa sử tồn tại chỉ số i sao cho $\mid{a_i}\mid > b_i $ Khi đó $u_i>0 $ hoặc $v_i < 0 $. *Trường hợp 1 : $u_i > 0 $ Từ (1) ta suy ra $u_{n+1} - u_n \ge u_n-u_{n-1} \ge .... \ge u_i-u_{i-1} $ do đó $u_{n+1} - u_i \ge (n - i+1)(u_i - u_{i-1}) $ vì $a_{n+1}=b_{n+1} = 0 $ nên suy ra được $u_{i-1} > 0 $ Tương tự thế suy ra $u_{i-2} > 0 $....$u_0 > 0 $ Đây là điều Vô lý nên ta có đpcm *Trường hợp còn lại tương tự *Các bạn xem giùm cái nha.Không biết lỗi chỗ nào ko ? |
The Following 2 Users Say Thank You to thanhorg For This Useful Post: | daylight (23-06-2012), thiendieu96 (24-06-2012) |
23-06-2012, 10:36 PM | #9 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 551 Thanks: 877 Thanked 325 Times in 188 Posts | Trích:
Ta có: $1+2+3+...+n \ge 1|a_{n+1}-2a_{n}+a_{n-1}|+2|a_n-2a_{n-1}+a_{n-2}|+3|a_{n-1}-2a_{n-2}|+...+n|a_2-2a_1+a_0| \ge |(..)+(..)+..+(...)|=2n|a_1| $ Để ý cứ mỗi 3 dấu tuyệt đối có hệ số là $m,m+1,m+2 $ thì số $a_{m+1} $ bị triệt tiêu điều này giải thích cuối cùng nó chỉ còn $a_1. $ Vậy BDT đúng với $k=1, $ bây giờ quy nạp là ta đc đpcm | |
24-06-2012, 12:07 AM | #10 | |
+Thành Viên+ | Trích:
Từ giả thiết có $\left | a_k-a_{k+1} \right |\leq 1+\left | a_{k-1}-a_k \right (1)| $ và $\left | a_k-a_{k-1} \right |\leq 1+\left | a_{k+1}-a_k \right |(2) $ Bây giờ, gọi s là chỉ số nhỏ nhất sao cho $\left | a_s \right |> \frac{k(n+1-k)}{2} $ Khi đó $\left | a_{s-1}-a_{s} \right |>\left | a_s \right |-\left | a_{s-1} \right |>\frac{n}{2} $ Bây giờ, nếu$ s\geq \frac{n}{2} $ ta áp dụng công thức $(1) $ suy ra điều vô lí. Tương tự cho trường hợp còn lại. __________________ Quay về với nơi bắt đầu | |
The Following User Says Thank You to kien10a1 For This Useful Post: | thanhorg (25-06-2012) |
24-06-2012, 01:17 PM | #11 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Bài gởi: 60 Thanks: 0 Thanked 28 Times in 18 Posts | Trích:
$[(a^2+c^2)(b^2+d^2)-(a^2+d^2)(b^2+c^2)]^2\ge[(a^2+c^2)(b^2+d^2)+(a^2+d^2)(b^2+c^2)]^2-100. $ Chú ý rằng$(a^2+c^2)(b^2+d^2)-(a^2+d^2)(b^2+c^2)=(a^2-b^2)(d^2-c^2)=4(a-b)(d-c), $ Do đó ta có thể viết lại bất đẳng thức trên thành$\begin{aligned} &[(a^2+c^2)(b^2+d^2)+(a^2+d^2)(b^2+c^2)]^2-100\\&=[2(a^2b^2+c^2d^2)+(a^2+b^2)(c^2+d^2)]^2-100\\&=[2(a^2b^2+c^2d^2)+4(2-ab)(2-cd)]^2-100\\&=4(x^2-4x+8)^2-100=4(x^2-4x+3)(x^2-4x+13)\\&=4(1-x)(3-x)(x^2-4x+13).\end{aligned} $ $4(a-b)^2(c-d)^2\ge(1-x)(3-x)(x^2-4x+13). $ Vì $x=ab+cd\le\frac{1}{4}(a+b)^2+\frac{1}{4}(c+d)^2=2< 3 $ nên nếu $x\ge 1 $ thì ta có ngay đpcm. Nếu $0\le x<1, $ ta lại có$(a-b)^2(c-d)^2=(4-4ab)(4-4cd)=16(1-x+abcd)\ge16(1-x). $ Vì vậy ta chỉ cần chứng minh$64\ge (3-x)(x^2-4x+13). $ Theo bất đẳng thức AM-GM ta thấy ngay bất đẳng thức này đúng$\begin{aligned} (3-x)(x^2-4x+13) & = \frac{1}{4}\cdot4(3-x)\cdot (x^2-4x+13)\\& \le\frac{1}{4} \left[ \frac{4(3-x)+(x^2-4x+13)}{2}\right]^2 \\& = \frac{1}{16}(x^2+25)^2 < \frac{26^2}{16}<64.\end{aligned} $ Bất đẳng thức được chứng minh hoàn chỉnh. Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi $a=2,b=0,c=d=1. $ | |
The Following User Says Thank You to Chém Gió For This Useful Post: | thiendieu96 (24-06-2012) |
24-06-2012, 11:25 PM | #12 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2010 Bài gởi: 5 Thanks: 1 Thanked 3 Times in 1 Post | Có thể đề bài sai em dịch sai . Nó là bình phương của tổng ạ (square of sum). |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|