Đề thi các trường và các tỉnh năm học 2013-2014 - Lời giải và bình luận

[pco]

Phải công nhận Bắc Giang có đề chất lượng thật.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Lời giải của bài số học Cà Mau mà anh Lữ mới cho mình.

vậy là xong số học

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luxubuhl]

Phần BĐT khá là dài và khó. Các bạn thảo luận nhiệt tình nhé. Mở hàng bằng bài Chọn ĐT của Bắc Giang, lời giải của mình khá là dài nhưng không yêu cầu tư duy lắm, khá thuần.

BĐT - Chọn ĐTQG Bắc Giang:
Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $\sum ab=3$, chứng minh rằng
$$\sum a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}} \leq \frac{3}{abc}$$

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có $a^2+bc \geq 2a\sqrt{bc}$, từ đó, ta đưa đpcm về dạng
$$\sum \sqrt{\frac{ab+ac}{2\sqrt{bc}}} \leq \frac{3}{\sqrt{ab}\sqrt{bc}\sqrt{ca}}$$
Đặt $\sqrt{ab}=x ; \sqrt{ac}=y ; \sqrt{bc}=z \Longrightarrow \sum x^2=3$.
Quy đồng, ta cần cm
$$\sum \sqrt{\frac{xy(x^2+y^2)}{2xyz}} \leq \frac{3}{xyz} \Longleftrightarrow \sum \sqrt{xy(x^2+y^2)} \leq \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{xyz}}$$
Lại theo AM - GM, ta có dễ dàng có được kết quả $\sum \sqrt{xy(x^2+y^2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum \sqrt{2xy(x^2+y^2)} \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}\sum (x+y)^2 \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}\left [2\sum x^2+2\sum xy \right ] \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}.4\sum x^2=\frac{6}{\sqrt{2}}$
Và $$xyz \leq \frac{(x+y+z)^3}{27} \leq \frac{\left ( \sqrt{3\sum x^2} \right )^3}{27}=1$$
Từ đó ta có đpcm $\blacksquare$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dungtoank22]

Nguyên văn bởi luxubuhl

Phần BĐT khá là dài và khó. Các bạn thảo luận nhiệt tình nhé. Mở hàng bằng bài Chọn ĐT của Bắc Giang, lời giải của mình khá là dài nhưng không yêu cầu tư duy lắm, khá thuần.

BĐT - Chọn ĐTQG Bắc Giang:
Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $\sum ab=3$, chứng minh rằng
$$\sum a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}} \leq \frac{3}{abc}$$

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có $a^2+bc \geq 2a\sqrt{bc}$, từ đó, ta đưa đpcm về dạng
$$\sum \sqrt{\frac{ab+ac}{2\sqrt{bc}}} \leq \frac{3}{\sqrt{ab}\sqrt{bc}\sqrt{ca}}$$
Đặt $\sqrt{ab}=x ; \sqrt{ac}=y ; \sqrt{bc}=z \Longrightarrow \sum x^2=3$.
Quy đồng, ta cần cm
$$\sum \sqrt{\frac{xy(x^2+y^2)}{2xyz}} \leq \frac{3}{xyz} \Longleftrightarrow \sum \sqrt{xy(x^2+y^2)} \leq \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{xyz}}$$
Lại theo AM - GM, ta có dễ dàng có được kết quả $\sum \sqrt{xy(x^2+y^2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum \sqrt{2xy(x^2+y^2)} \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}\sum (x+y)^2 \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}\left [2\sum x^2+2\sum xy \right ] \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}.4\sum x^2=\frac{6}{\sqrt{2}}$
Và $$xyz \leq \frac{(x+y+z)^3}{27} \leq \frac{\left ( \sqrt{3\sum x^2} \right )^3}{27}=1$$
Từ đó ta có đpcm $\blacksquare$.

Cách này khá ngắn gon:
$a\sqrt{\frac{b+c}{a^{2}+bc}}=\sqrt{a}.\sqrt{\frac {ab+ac}{a^{2}+bc}}$
áp dụng bđt cauchy: $a^{2}+bc+ab^{2}c^{2}\geqslant 3abc$
$\Rightarrow a^{2}+bc\geqslant abc(ab+ac)\Rightarrow \sqrt{a}.\sqrt{\frac{ab+ac}{a^{2}+bc}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{bc}}$
$\Rightarrow qed$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[doxuantung97]

Hôm qua ngồi xem MU đá xong ngồi làm mấy bài cho nó hưng phấn!
Câu 2: KHTN vòng 1
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=1.Chứng minh rằng
$$\frac{1}{c\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{1}{a\sqrt{b^2+c^ 2 }}+\frac{1}{b\sqrt{c^2+a^2}}\ge \frac{9}{2\sqrt{2}-3\sqrt{6}abc}$$
Solution:
Đặt $x=3ab;y=3bc;z=3ca \Rightarrow x+y+z=3$
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là:
$$\sum \frac{3}{\sqrt{x^2+y^2}} \geq \frac{9}{2\sqrt{2}-\sqrt{2xyz}}$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{2(x^2+y^2)} \geq \frac{3}{4-2\sqrt{xyz}}$$
Do $x+y+z=3$ nên theo AM-GM và,ta có:
$$\frac{3}{4-2\sqrt{xyz}}=\frac{9}{12-2\sqrt{3xyz(x+y+z)}} \leq \frac{9}{12-2(xy+yz+zx)}$$
Mặt khác,theo $Cauchy-Schwarz$ thì:
$$\sum \frac{1}{\sqrt{2(x^2+y^2)} \geq \sum \frac{1}{\frac{x^2+y^2+2}{2}} \geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+3}$$
Ta có:
$$x^2+y^2+z^2+3=(x+y+z)^2+3-2(xy+yz+zx)=12-2(xy+yz+zx)$$
Vậy,BĐT được chứng minh!
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Câu 5: Long An
Cho $a;b;c$ dương thỏa mãn
$$\sum \frac{1}{a+2}\geq 1$$
Chứng minh rằng $abc\leq 1$
Solution:
Quy đồng giả thiết,ta có:
$$\sum(a+2)(b+2) \geq (a+2)(b+2)(c+2)$$
$$\Leftrightarrow abc+ab+ca+ca\geq 4$$
$$\Leftrightarrow 4 \geq abc+ab+bc+ca \geq abc+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=t^3+3t^2$$
với $t=\sqrt[3]{abc}$
Từ đây suy ra $(t-1)(t+2)^2\leq 0$
Vậy $t\leq 1$ hay $abc\leq 1$.
Ta có điều phải chứng minh.
____________________
Bài toán này còn có thể chứng minh bằng phản chứng nhưng dài dòng hơn.

Bài 6: Đồng Tháp
Cho $a;b;c$ dương. Chứng minh rằng:
$$\sum \frac{2}{(a+b)^2}\geq \sum \frac{1}{a^2+bc}$$
Solution:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$\sum (\frac{2}{(a+b)^2}-\frac{1}{c^2+ab}) \geq 0$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{2c^2-a^2-b^2}{(a+b)^2(c^2+ab)} \geq 0$$
Không mất tính tổng quát,giả sử $a\geq b\geq c$. Khi đó thì:
$$2c^2-a^2-b^2\leq2b^2-a^2-c^2\leq2a^2-c^2-b^2$$
và
$$(a+b)^2(c^2+ab)\geq (a+c)^2(b^2+ac)\geq (b+c)^2(a^2+ac)$$
Bất đẳng thức này chứng minh bằng khai triển tương đương.
Khi đó,áp dụng BĐT cho hai bộ đơn điệu cùng chiều $(2c^2-a^2-b^2;2b^2-a^2-c^2\;2a^2-c^2-b^2)$ và $(\frac{1}{(a+b)^2(c^2+ab)};\frac{1}{(a+c)^2(b^2+a c)};\frac{1}{(b+c)^2(a^2+ac)}$
Ta có điều phải chứng minh

Bài 7: Bắc Giang
Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $\sum ab=3$, chứng minh rằng
$$\sum a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}} \leq \frac{3}{abc}$$
Solution:
Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$,ta có:
$$(\sum a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}})^2 =(\sum \sqrt{a}\sqrt{\frac{ab+ac}{a^2+bc}})^2\leq (a+b+c)(\sum \frac{ab+ac}{a^2+bc})$$
Theo BĐT $AM-GM$ thì
$$abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{3}=3$$
Vậy,ta chỉ cần chứng minh BĐT:
$$abc(\sum \frac{ab+ac}{a^2+bc}) \leq 3$$
Ta có:
$$abc(\sum \frac{ab+ac}{a^2+bc})\leq abc(\sum \frac{ab+ac}{2a\sqrt{bc}})=\frac{1}{2}(\sum \sqrt{x}(y+z))$$
với $x=ab;y=bc;z=ca$ và $x+y+z$=3
Vậy,ta cần chứng minh:
$$\sum \sqrt{x}(y+z)\leq 6=2(x+y+z)$$
$$\Leftrightarrow \sum (x+y)(1-\sqrt{z}) \geq 0$$
Không mất tổng quát,giả sử $x\geq y\geq z$.
Khi đó thì
$$1-\sqrt{z}\geq 1-\sqrt{y}\geq 1-\sqrt{x}$$
và
$$x+y\geq x+z\geq y+z$$
Tới đây,áp dụng bĐT $Chebyshev$,ta có:
$$\sum (x+y)(1-\sqrt{z})\geq (3-\sqrt{x}-\sqrt{y}-\sqrt{z})\frac{x+y+z}{3}$$
Do $x+y+z=3$ nên theo AM-GM thì $3\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$
Ta có điều phải chứng minh.

Bài 8: Quảng Bình
Cho $x;y;z$ dương thỏa mãn $xyz=8$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=\frac{1}{(x+1)^3}+\frac{8}{(y+2)^3}+\frac{64}{ (z+4)^3}$$
Solution:
Đặt $a=x;b=\frac{y}{2};c=\frac{z}{4}$. Khi đó $abc=1$ và
$$P=\frac{1}{(a+1)^3}+\frac{1}{(b+1)^3}+\frac{1}{( c+1)^3}$$
Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát hơn:
Cho $a;b;c$ dương thỏa mãn $abc=1$ và $n\geq 2$. Khi đó thì:
$$\sum \frac{1}{(a+1)^n} \geq \frac{3}{2^n}$$
Để chứng minh bài toán này,ta sử dụng một bổ đề quen thuộc:Với mọi số thực dương $a;b;c$ thì
$$ \sum \frac{a^2}{(a+b)^2} \geq \frac{3}{4}$$
Bổ đề này có thể chứng minh bằng cách gọi số ở giữa rồi biến đổi.
Bổ đề này tương đương với:
$$\sum \frac{1}{(a+1)^2} \geq \frac{3}{4}$$
với $abc=1$
Dễ có hàm $f(x)=x^k$ là hàm lồi với mọi $x;k$ dương và $k\geq 1$.
Khi đó,áp dụng BĐT $Jensen$ và bổ đề,ta có:
$$\sum \frac{1}{(a+1)^n}=\sum (\frac{1}{(a+1)^2})^{\frac{n}{2}} \geq 3(\sum \frac{1}{3(a+1)^2})^{\frac{n}{2}}$$
$$\geq \frac{3}{4^{\frac{n}{2}}}=\frac{3}{2^n}$$
Vậy bài toán được chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Nguyên văn bởi doxuantung97

$$\sum \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \geq \sum \frac{1}{\frac{x^2+y^2+2}{2}}

bạn giải thích giúp minh tại sao lại có cái bđt này ??

mình ngu phần này lắm

DÃY SỐ
Bài 5(ptnk):
ta có $u_{n+1}-2=u_{n}^{3}-4u_{n}^{2}+5u_{n}-2=(u_{n-1}-1)^2(u_{n-1}-2)=(u_{n-1}-1)^2.(u_{n-2}-1)^2.(u_{n-2}-1)=...=(u_{n-1}-1)^2.(u_{n-2}-1)^2....(u_2-1)^2.(u_1-2)=(u_{n-1}-1)^2.(u_{n-2}-1)^2....(u_2-1)^2.2011 $. Từ đây, ta có: $u_{2014}-2=(u_{2013}-1)^2.(u_{2012}-1)^2....(u_2-1)^2.2011 \Leftrightarrow u_{2014}+2009=(u_{2013}-1)^2.(u_{2012}-1)^2....(u_2-1)^2.2011+2011=2011((u_{2013}-1)^2.(u_{2012}-1)^2....(u_2-1)^2+1)$.
Vì $((u_{2013}-1)^2.(u_{2012}-1)^2....(u_2-1)^2+1)$ có dạng $a^2+b^2$ với $(a,b)=1$ nên nó không có ước nguyên tố dạng $4k+3$. Vậy từ đó $p=2011$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luugiangnam]

Nguyên văn bởi quocbaoct10

Lời giải của bài số học Cà Mau mà anh Lữ mới cho mình.

vậy là xong số học

Bài giải của anh Lữ hay nhưng hình như có thiếu gì đó vì dễ thấy $x=y=2$ là 1 nghiệm ( hình như đây cũng là nghiệm duy nhất).

Với lại em xin đính chính lại 1 điều : Đây là câu trong đề chọn đội tuyển Chuyên Phan Ngọc Hiển, Cà Mau dự thi HSG tỉnh chứ không phải đề HSG tỉnh Cà Mau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Nguyên văn bởi luugiangnam

Bài giải của anh Lữ hay nhưng hình như có thiếu gì đó vì dễ thấy $x=y=2$ là 1 nghiệm ( hình như đây cũng là nghiệm duy nhất).

Với lại em xin đính chính lại 1 điều : Đây là câu trong đề chọn đội tuyển Chuyên Phan Ngọc Hiển, Cà Mau dự thi HSG tỉnh chứ không phải đề HSG tỉnh Cà Mau.

$x=y=2$ là TH riêng của $(x,y)=d$. Chắc chỗ này anh ấy chưa xét tới.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[doxuantung97]

Nguyên văn bởi quocbaoct10

bạn giải thích giúp minh tại sao lại có cái bđt này ??

mình ngu phần này lắm

Hic. Mình viết nhầm số 2 ngoài căn. Còn lại thì là AM-GM thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[bangdenas]

Bài 6 đó là đề thi toán mùa xuân của Bulgaria năm 2001
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi luugiangnam

Bài giải của anh Lữ hay nhưng hình như có thiếu gì đó vì dễ thấy $x=y=2$ là 1 nghiệm ( hình như đây cũng là nghiệm duy nhất).

Với lại em xin đính chính lại 1 điều : Đây là câu trong đề chọn đội tuyển Chuyên Phan Ngọc Hiển, Cà Mau dự thi HSG tỉnh chứ không phải đề HSG tỉnh Cà Mau.

Bài số học đúng là nhầm thật.
Đến đoạn $d \ge x_1 + y_1$ thì chứng minh $x_1^3+y_1^3 < x_1^2y_1^2$ là sai vì trên thực tế, đẳng thức vẫn có thể xảy ra:
$x_1 +y_1 \le d, x_1^2 + y_1^2 -x_1y_1 \le x_1^2y_1^2$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x_1=y_1=1$ và $d=2$.

Do đó, có nghiệm $(x,y,z)=(2,2,0)$ như các bạn đã nêu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DaiToan]

Nguyên văn bởi doxuantung97

Hôm qua ngồi xem MU đá xong ngồi làm mấy bài cho nó hưng phấn!

Bài 6: Đồng Tháp
Cho $a;b;c$ dương. Chứng minh rằng:
$$\sum \frac{2}{(a+b)^2}\geq \sum \frac{1}{a^2+bc}$$
Solution:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$\sum (\frac{2}{(a+b)^2}-\frac{1}{c^2+ab}) \geq 0$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{2c^2-a^2-b^2}{(a+b)^2(c^2+ab)} \geq 0$$
Không mất tính tổng quát,giả sử $a\geq b\geq c$. Khi đó thì:
$$2c^2-a^2-b^2\leq2b^2-a^2-c^2\leq2a^2-c^2-b^2$$
và
$$(a+b)^2(c^2+ab)\geq (a+c)^2(b^2+ac)\geq (b+c)^2(a^2+ac)$$
Bất đẳng thức này chứng minh bằng khai triển tương đương.
Khi đó,áp dụng BĐT cho hai bộ đơn điệu cùng chiều $(2c^2-a^2-b^2;2b^2-a^2-c^2\;2a^2-c^2-b^2)$ và $(\frac{1}{(a+b)^2(c^2+ab)};\frac{1}{(a+c)^2(b^2+a c)};\frac{1}{(b+c)^2(a^2+ac)}$
Ta có điều phải chứng minh

Có thể làm đơn giản hơn nếu biết BĐT sau:
$$\frac{1}{{{{(a + b)}^2}}} + \frac{1}{{{{(a + c)}^2}}} \ge \frac{1}{{{a^2} + bc}}{\rm{ }}\forall a,b,c > 0$ $
(CM Bằng biến đổi tương đương đơn giản)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyentatthu]

Mình đã tổng hợp lại lời giải phần số học.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luugiangnam]

Mình xin được trình bày phần thiếu trong bài Số học trường mình.

Đề bài số học Chuyên Phan Ngọc Hiển:

Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y$ sao cho $A=\frac{x^3+y^3-x^2y^2}{(x+y)^2}$ là số tự nhiên.

Bài giải ( cách này tìm nghiệm dễ hơn) .

*) Với $x=y$ ta có : $A=\frac{2x^3-x^4}{4x^2}=\frac{x(2-x)}{4}$

=> $x$ chẵn => $x=2k$ ( $k>0$)

Khi đó $A=k(1-k)$

=> $k=1$

Vậy $x=y=2$ là 1 nghiệm.

*) Xét $x\neq y$.

Như bài anh Lữ gửi bên trên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[let_wind_go]

Nguyên văn bởi Ispectorgadget

3. Yên Bái
Cho dãy $(x_n)$ xác định như sau\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 1\\
{x_{n + 1}} = \left[ {\frac{5}{2}{x_n}} \right]
\end{array} \right.\,\,\forall n \ge 1\]
Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có vô hạn các số chẵn, có vô hạn các số lẻ. (Ký hiệu $[x]$ là phần nguyên của $x$)
Giải

Giả sử dãy $(x_n)^{\alpha}$ chỉ có hữu hạn các số chẵn, suy ra có ít nhất một số $n\in \mathbb{N}$ sao cho $x_k$ lẻ $\forall k\ge n$

Đặt: $x_k=2^{\alpha}.\beta +1$
$\alpha ,\beta \in \mathbb{N};\beta \text{lẻ}$

$x_{k+1} =2^{\alpha -1}5\beta+1 $

$x_{k+1}=2^{\alpha-2}5^2\beta+1 $

$....... $
$x_{k+\alpha} =5^{\alpha}\beta+1 $

$\Rightarrow x_{k+\alpha} \text{là số chẵn}\Rightarrow \text{vô lý}$

Từ đó suy ra rằng dãy đã cho phải có vô hạn các số chẵn.

Doạn này có đúng không nhỉ??
$x_k=2^{\alpha}.\beta +1$ thì $x_{k+1} =2^{\alpha -1}5\beta+2 $ chứ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]