|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
03-03-2012, 09:11 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2011 Bài gởi: 24 Thanks: 0 Thanked 30 Times in 10 Posts | Một số bài toán bất đẳng thức trong các đề chọn đội tuyển quốc gia dự thi IMO. Một số bài toán bất đẳng thức trong các đề chọn đội tuyển quốc gia dự thi IMO. |
The Following 4 Users Say Thank You to nguyenluucht For This Useful Post: | hakudoshi (03-03-2012), nghiepdu-socap (03-03-2012), Raul Chavez (21-10-2012), thinhptnk (03-03-2012) |
03-03-2012, 09:56 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2010 Bài gởi: 40 Thanks: 138 Thanked 45 Times in 15 Posts | Ta có: $\ {\left[ {a + b + \sqrt {2\left( {a + c} \right)} } \right]^3} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {\sqrt {\dfrac{{a + c}}{2}} } \right) + \left( {\sqrt {\dfrac{{a + c}}{2}} } \right)} \right]^3} \ge \dfrac{{27}}{2}\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) $ Suy ra: $\ \left[ {\sum {{{\left( {\dfrac{1}{{a + b + \sqrt {2\left( {a + c} \right)} }}} \right)}^3}} } \right] \le \sum\limits_{cyc} {\dfrac{2}{{27\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}} = \dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{27\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} $ Cần CM: $\ \dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{27\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le \dfrac{8}{9} $ $\ \Leftrightarrow 6\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge \left( {a + b + c} \right) $ Từ ĐK đề bài ta có: $\ ab + bc + ca \le 16abc\left( {a + b + c} \right) \le \dfrac{{16}}{3}{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} $ $\ \Rightarrow ab + bc + ca \ge \dfrac{3}{{16}} $ Vậy: $\ 9\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 8\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \ge \dfrac{3}{2}\left( {a + b + c} \right) $ $\ \Leftrightarrow 6\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge \left( {a + b + c} \right) $ Q.E.D Sau đây là một bài cho các bạn luyện thi TST Cho các số thực $ a, b, c \in \left[ \dfrac{1}{2}, 2 \right] $. Chứng minh rằng $ 8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \ge 5 \left(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\right)+9 $ Bài này có thể chứng minh bằng AM - GM: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 3 số ta có: ${x}^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3x}{4} $ Cộng ba bất đẳng thức trên lại và kết hợp với điều kiện:${y}^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3y}{4} $ ${z}^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3z}{4} $ $x + y + z \geq \frac{3}{2} $ ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = y = z = \frac{1}{2} $ Sau đây là một bài cho các bạn luyện thi TST Cho các số thực $ a, b, c \in \left[ \dfrac{1}{2}, 2 \right] $. Chứng minh rằng $ 8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \ge 5 \left(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\right)+9 $ thay đổi nội dung bởi: hoduckhanhgx, 03-03-2012 lúc 10:34 PM Lý do: Tự động gộp bài |
The Following User Says Thank You to hoduckhanhgx For This Useful Post: | hakudoshi (03-03-2012) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|