Chứng minh đẳng thức Tổ Hợp

hoangquan_9x · 18-03-2012, 01:03 PM

Cho khai triển:
$(1+x+x^2+x^3+...+x^{2010})^{2011}=a_{0}+a_{1}x+a_{ 2}x^2+...+
a_{4042110}x^{4042110} $
a, Tính tổng $a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{4042110} $
b,Chứng minh rằng:
$C^{0}_{2011}a_{2011}-C^{1}_{2011}a_{2010}+C^{2}_{2011}a_{200
9}-C^{3}_{2011}a_{2008}+...+C^{2010}_{2011}a_{1}-C^{2011}_{2011
}a_{0}=-2011 $
Các bạn giải giúp mình phần “b” với ,mình nghĩ nhiều rồi mà không được !!!

Cảm ơn trước nhé!

chome_hange · 18-03-2012, 02:21 PM

Với mọi $x \neq 1 $ ta có:
VT=${ a }_{ 0 }+{ a }_{ 1 }x+{ a }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+..=\frac { { (1-{ x }^{ 2011 }) }^{ 2011 } }{ { (1-x) }^{ 2011 } } $
Do đó: ${ (1-{ x }^{ 2011 }) }^{ 2011 }=({ a }_{ 0 }+{ a }_{ 1 }x+..){ (1-x) }^{ 2011 } $ (1)
Xét hệ số ${x}^{2011} $ :
VT(1)=$..+{ C }_{ 2011 }^{ 1 }(-{ x }^{ 2011 })+.. $
VP(1)=$({ a }_{ 0 }+{ a }_{ 1 }x+..)\sum _{ k=0 }^{ 2011 }{ { C }_{ 2011 }^{ k } } { (-x) }^{ k }=..+{ C }_{ 2011 }^{ 0 }{ a }_{ 2011 }{ x }^{ 2011 }-{ C }_{ 2011 }^{ 1 }{ a }_{ 2010 }{ x }^{ 2011 }+..-{ C }_{ 2011 }^{ 2011 }{ a }_{ 0 }{ x }^{ 2011 }+.. $
Từ đó ta có đpcm

than-dong · 18-03-2012, 07:16 PM

Bài này trong đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010-2011( dành cho học sinh không thuộc các trường chuyên)

Hình như trong tài liệu đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh trên MS có đáp án bài này đó.

18-03-2012, 01:03 PM	#1
hoangquan_9x +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: THPT Hồng Thái_Hà Nội Bài gởi: 171 Thanks: 178 Thanked 88 Times in 48 Posts	Chứng minh đẳng thức Tổ Hợp Cho khai triển: $(1+x+x^2+x^3+...+x^{2010})^{2011}=a_{0}+a_{1}x+a_{ 2}x^2+...+ a_{4042110}x^{4042110} $ a, Tính tổng $a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{4042110} $ b,Chứng minh rằng: $C^{0}_{2011}a_{2011}-C^{1}_{2011}a_{2010}+C^{2}_{2011}a_{200 9}-C^{3}_{2011}a_{2008}+...+C^{2010}_{2011}a_{1}-C^{2011}_{2011 }a_{0}=-2011 $ Các bạn giải giúp mình phần “b” với ,mình nghĩ nhiều rồi mà không được !!! Cảm ơn trước nhé! __________________ Không có chữ kí

18-03-2012, 02:21 PM	#2
chome_hange +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2012 Đến từ: An Phú Hải Dương, Thanh Trì Hà Nội Bài gởi: 2 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post	Với mọi $x \neq 1 $ ta có: VT=${ a }_{ 0 }+{ a }_{ 1 }x+{ a }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+..=\frac { { (1-{ x }^{ 2011 }) }^{ 2011 } }{ { (1-x) }^{ 2011 } } $ Do đó: ${ (1-{ x }^{ 2011 }) }^{ 2011 }=({ a }_{ 0 }+{ a }_{ 1 }x+..){ (1-x) }^{ 2011 } $ (1) Xét hệ số ${x}^{2011} $ : VT(1)=$..+{ C }_{ 2011 }^{ 1 }(-{ x }^{ 2011 })+.. $ VP(1)=$({ a }_{ 0 }+{ a }_{ 1 }x+..)\sum _{ k=0 }^{ 2011 }{ { C }_{ 2011 }^{ k } } { (-x) }^{ k }=..+{ C }_{ 2011 }^{ 0 }{ a }_{ 2011 }{ x }^{ 2011 }-{ C }_{ 2011 }^{ 1 }{ a }_{ 2010 }{ x }^{ 2011 }+..-{ C }_{ 2011 }^{ 2011 }{ a }_{ 0 }{ x }^{ 2011 }+.. $ Từ đó ta có đpcm thay đổi nội dung bởi: chome_hange, 18-03-2012 lúc 02:28 PM

18-03-2012, 07:16 PM	#3
than-dong +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Đến từ: Gần tòa nhà cao nhất TP Hà Tĩnh Bài gởi: 17 Thanks: 144 Thanked 4 Times in 4 Posts	Bài này trong đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010-2011( dành cho học sinh không thuộc các trường chuyên) Hình như trong tài liệu đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh trên MS có đáp án bài này đó. __________________ Thần Đồng "Bâng khuâng trời rộng nhớ sông dài !" Tại vì anh vô tâm hay tại anh không quan tâm em mỗi ngày?