Cần tìm lời giải bài tích phân

[99]

Bài này là một bài trong đề thi, mình thấy hay hay nhưng mà lại chưa tính được, anh chị em nào làm được thì giúp 99 nhé

Tính $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^{2014}x}{\cos^{ 2014}x + \sin^{2014}x}dx.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi 99

Bài này là một bài trong đề thi, mình thấy hay hay nhưng mà lại chưa tính được, anh chị em nào làm được thì giúp 99 nhé

Tính $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^{2014}x}{\cos^{ 2014}x + \sin^{2014}x}dx.$$

Dạ, hàm số $f(x)$ dưới dấu tích phân thỏa mãn $f(x) = f \left( \dfrac{\pi}{2}-x \right)$ nên chỉ cần đặt ẩn phụ $\dfrac{\pi}{2}-x$ là xong anh ạ.

Đặt $I$ là tích phân cần tính, ta có $$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{\cos^{2014}(\dfrac{\pi }{2}-x)}{\cos^{2014}(\dfrac{\pi}{2}-x)) + \sin^{2014}(\dfrac{\pi}{2}-x))}d(\dfrac{\pi}{2}-x)) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^{2014}x}{\cos^{20 14}x + \sin^{2014}x}dx.$$ Suy ra $$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^{2014}x + \sin^{2014}x}{\cos^{2014}x + \sin^{2014}x}dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} dx = \dfrac{\pi}{2}.$$ Vậy $I = \dfrac{\pi}{4}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Chẹp, cám ơn em nhé không ngờ đơn giản thế
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]