Một vài bài tập về phép chiếu trong không gian Hilbert

99 · 11-11-2010, 07:42 PM

Bài 1. Giả sử $H $ là không gian Hilbert nào đó và $C $ là một tập lồi đóng khác rỗng của $H. $ Chứng minh rằng với mọi $x\in H $ có duy nhất điểm $P_C(x)\in C $ sao cho

$||x -P_C(x)|| = \inf_{y\in C}||x-y|| $

Bài 2. Cho $H $ là không gian Hilbert và $C_1, C_2 $ là các tập lồi đóng khác rỗng của $H $ thỏa mãn $C_1\subset C_2. $

Chứng minh rằng $\forall x\in H $ ta có

$||P_{C_1}(x)-P_{C_2}(x)||^2\leq d^2(x,C_1) - d^2(x,C_2) $

ở đây $d $ là metric sinh bởi chuẩn trên $H. $

Bài 3. Cho H là không gian Hilbert và $\{C_i\}^{\infty}_{i=1} $ là dãy các tập lồi đóng khác rỗng của H thỏa mãn $C_i\subset C_{i+1} $ với mọi $i\geq 1. $

Ký hiệu $\displaystyle C =\overline{\bigcup_{i\geq 1}C_i} $.

Chứng minh rằng $C $ là tập lồi đóng trong $H. $
Chứng minh với mọi $x\in H $ ta có $\lim_{n\to\infty} P_{C_n}(x) = P_C(x) $

Bài 4. Cho H là không gian Hilbert và $\{C_i\}^{\infty}_{i=1} $ là dãy các tập lồi đóng khác rỗng của H thỏa mãn $C_i\supset C_{i+1} $ với mọi $i\geq 1. $ Ký hiệu $\displaystyle C = \bigcap_{i\geq 1} C_i $.

Chứng minh rằng nếu $C\neq \emptyset $ thì $\lim_{n\to\infty}P_{C_n}(x)=P_C(x) $ với mọi $x\in H. $
Nếu $C = \emptyset, $ hãy chứng minh $\lim_{n\to\infty} ||P_{C_n}(x)||=\infty. $

123456 · 12-11-2010, 07:32 AM

Bài 2, đặt $x_1=P_{C_1}(x); x_2=P_{C_2}(x) $ ta có bdt tương đương với
$||x_1-x_2||^2\leq ||x-x_1||^2-||x-x_2||^2 $
hay
$(x_2-x_1,x-x_2)\geq 0 $
đặt $ f(t)=||x - (tx_1+(1-t)x_2)||^2 $ với $0 \leq t \leq 1 $. ta có f(t) đạt min tại 0, do đó $f^{'} (0)\geq 0 $, mà
$f^{'} (0)=(x_2-x_1,x-x_2). $
bài 3, C là tập lồi đóng là đơn giản.
Đặt $y_n=P_{C_n}(x) $ và $y=P_C(x) $. với $n<m $ ta có (bài 2)
$0\leq ||y_n-y_m||^2\leq ||x-y_n||^2-||x-y_m||^2 $
do đó dãy $\{||x-y_n||^2\}_n $ là dãy giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn hữu hạn. do đó từ bdt trên ta có $\{y_n\}_n $ là dãy Cauchy, nên nó hội tụ tới z trong C (do C đóng). ta chứng minh $z=y $, do tính duy nhất của phép chiếu, ta chỉ cần cm rằng $||x-v||\geq ||x-z|| $ với mọi $v\in C $, và do $C =\overline{\bigcup_{i\geq 1}C_i} $, ta chỉ cần cm cho $v\in \bigcup_{i\geq 1}C_i $. do $v\in \bigcup_{i\geq 1}C_i $, nên tồn tại i sao cho $v\in C_n $ với mọi $n\geq i $, do đó
$||x-v||\geq ||x-y_n|| $ với mọi $n\geq i $
cho n ra vô cùng ta có $||x-v||\geq ||x-z|| $.
bài 4, Nếu $C\not=\emptyset $ thì chứng minh như bài 3.
nếu $C=\emptyset $, đặt $y_n=P_{C_n}(x) $. ta có, với $n < m $
$||y_n-y_m||^2\leq ||x-y_m||^2-||x-y_n||^2 $
nếu dãy $\{||y_n||\}_n $ không tiến ra vô cùng, thì có tồn tại một dãy con $||y_{n_k}|| $ bị chặn, khi đó dãy $\{||x-y_{n_k}||\}_k $ là dãy tăng bị chặn trên, do đó có giới hạn hữu hạn. do đó $\{y_{n_k}\}_k $ là dãy Cauchy, nên tồn tại $z=\lim_k y_{n_k} $. Với mọi l, ta có $y_{n_k}\in C_{n_l} $ với $k\geq l $ do $C_{n_l} $ đóng nên $z\in C_{n_l} $. Do đó
$z\in\bigcap_l C_{n_l}=\bigcap_n C_n=C $
vậy $C\not=\emptyset $, vô lý.

11-11-2010, 07:42 PM	#1
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	Một vài bài tập về phép chiếu trong không gian Hilbert Bài 1. Giả sử $H $ là không gian Hilbert nào đó và $C $ là một tập lồi đóng khác rỗng của $H. $ Chứng minh rằng với mọi $x\in H $ có duy nhất điểm $P_C(x)\in C $ sao cho $\|\|x -P_C(x)\|\| = \inf_{y\in C}\|\|x-y\|\| $ Bài 2. Cho $H $ là không gian Hilbert và $C_1, C_2 $ là các tập lồi đóng khác rỗng của $H $ thỏa mãn $C_1\subset C_2. $ Chứng minh rằng $\forall x\in H $ ta có $\|\|P_{C_1}(x)-P_{C_2}(x)\|\|^2\leq d^2(x,C_1) - d^2(x,C_2) $ ở đây $d $ là metric sinh bởi chuẩn trên $H. $ Bài 3. Cho H là không gian Hilbert và $\{C_i\}^{\infty}_{i=1} $ là dãy các tập lồi đóng khác rỗng của H thỏa mãn $C_i\subset C_{i+1} $ với mọi $i\geq 1. $ Ký hiệu $\displaystyle C =\overline{\bigcup_{i\geq 1}C_i} $. Chứng minh rằng $C $ là tập lồi đóng trong $H. $ Chứng minh với mọi $x\in H $ ta có $\lim_{n\to\infty} P_{C_n}(x) = P_C(x) $ Bài 4. Cho H là không gian Hilbert và $\{C_i\}^{\infty}_{i=1} $ là dãy các tập lồi đóng khác rỗng của H thỏa mãn $C_i\supset C_{i+1} $ với mọi $i\geq 1. $ Ký hiệu $\displaystyle C = \bigcap_{i\geq 1} C_i $. Chứng minh rằng nếu $C\neq \emptyset $ thì $\lim_{n\to\infty}P_{C_n}(x)=P_C(x) $ với mọi $x\in H. $ Nếu $C = \emptyset, $ hãy chứng minh $\lim_{n\to\infty} \|\|P_{C_n}(x)\|\|=\infty. $

12-11-2010, 07:32 AM	#2
123456 +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts	Bài 2, đặt $x_1=P_{C_1}(x); x_2=P_{C_2}(x) $ ta có bdt tương đương với $\|\|x_1-x_2\|\|^2\leq \|\|x-x_1\|\|^2-\|\|x-x_2\|\|^2 $ hay $(x_2-x_1,x-x_2)\geq 0 $ đặt $ f(t)=\|\|x - (tx_1+(1-t)x_2)\|\|^2 $ với $0 \leq t \leq 1 $. ta có f(t) đạt min tại 0, do đó $f^{'} (0)\geq 0 $, mà $f^{'} (0)=(x_2-x_1,x-x_2). $ bài 3, C là tập lồi đóng là đơn giản. Đặt $y_n=P_{C_n}(x) $ và $y=P_C(x) $. với $n<m $ ta có (bài 2) $0\leq \|\|y_n-y_m\|\|^2\leq \|\|x-y_n\|\|^2-\|\|x-y_m\|\|^2 $ do đó dãy $\{\|\|x-y_n\|\|^2\}_n $ là dãy giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn hữu hạn. do đó từ bdt trên ta có $\{y_n\}_n $ là dãy Cauchy, nên nó hội tụ tới z trong C (do C đóng). ta chứng minh $z=y $, do tính duy nhất của phép chiếu, ta chỉ cần cm rằng $\|\|x-v\|\|\geq \|\|x-z\|\| $ với mọi $v\in C $, và do $C =\overline{\bigcup_{i\geq 1}C_i} $, ta chỉ cần cm cho $v\in \bigcup_{i\geq 1}C_i $. do $v\in \bigcup_{i\geq 1}C_i $, nên tồn tại i sao cho $v\in C_n $ với mọi $n\geq i $, do đó $\|\|x-v\|\|\geq \|\|x-y_n\|\| $ với mọi $n\geq i $ cho n ra vô cùng ta có $\|\|x-v\|\|\geq \|\|x-z\|\| $. bài 4, Nếu $C\not=\emptyset $ thì chứng minh như bài 3. nếu $C=\emptyset $, đặt $y_n=P_{C_n}(x) $. ta có, với $n < m $ $\|\|y_n-y_m\|\|^2\leq \|\|x-y_m\|\|^2-\|\|x-y_n\|\|^2 $ nếu dãy $\{\|\|y_n\|\|\}_n $ không tiến ra vô cùng, thì có tồn tại một dãy con $\|\|y_{n_k}\|\| $ bị chặn, khi đó dãy $\{\|\|x-y_{n_k}\|\|\}_k $ là dãy tăng bị chặn trên, do đó có giới hạn hữu hạn. do đó $\{y_{n_k}\}_k $ là dãy Cauchy, nên tồn tại $z=\lim_k y_{n_k} $. Với mọi l, ta có $y_{n_k}\in C_{n_l} $ với $k\geq l $ do $C_{n_l} $ đóng nên $z\in C_{n_l} $. Do đó $z\in\bigcap_l C_{n_l}=\bigcap_n C_n=C $ vậy $C\not=\emptyset $, vô lý.