|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
28-01-2016, 06:22 PM | #1 |
Administrator Tham gia ngày: Jun 2012 Bài gởi: 157 Thanks: 2 Thanked 84 Times in 53 Posts | Chứng minh $ f(x^3)\geq x^2, \forall x \in \mathbb{R}^+.$ Cho $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ là một hàm số thỏa mãn $$\displaystyle{2f(x^2)\geq xf(x) + x,}\forall x \in \mathbb{R}^+.$$ Chứng minh rằng $ f(x^3)\geq x^2, \forall x \in \mathbb{R}^+.$ |
28-01-2016, 08:52 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Trích:
$$2f(x^2) \geq \sum_{i=1}^n \frac{x^{\sum_{j=0}^{i-1} 2^{-j}}}{2^{i-1}}+ \frac{x^{\sum_{j=1}^{n-1}2^{-i}}}{2^{n-1} } f(x^{2^{-n+1}})$$ với mọi $n\geq 1$. Do $f \geq 0$ nên $$2f(x^2) \geq 2 \sum_{i=1}^n \frac{x^{\sum_{j=0}^{i-1} 2^{-j}}}{2^{i}} = 2\left(1 -\frac1{2^n}\right)\sum_{i=1}^n \frac{x^{\sum_{j=0}^{i-1} 2^{-j}}}{2^{i}(1-2^{-n})} $$ với mọi $n$. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy suy ra $$2f(x^2) \geq 2\left(1 -\frac1{2^n}\right) x^{(1-2^{-n})^{-1}\sum_{i=1}^n 2^{-i} \sum_{j=0}^{i-1} 2^{-j}} = 2(1-2^{-n}) x^{2(1-2^{-n})^{-1}\sum_{i=1}^n 2^{-i}(1-2^{-i})}$$ với mọi $n\geq 1$. Cho $n$ ra vô cùng suy ra $$f(x^2) \geq x^{2\sum_{i=1}^{\infty}(2^{-i} -4^{-i})} = x^{\frac43}.$$ Do đó $$f(x^3) = f((x^{\frac32})^2) \geq x^2.$$ | |
Bookmarks |
|
|