|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
16-09-2019, 11:38 PM | #1 |
Administrator Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 30 Thanks: 110 Thanked 183 Times in 68 Posts | Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2019-2020-Lời giải và bình luận Thời điểm này, nhiều tỉnh và các trường chuyên đã và đang hoàn tất việc thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tham dự VMO. Tiếp nối truyền thống nhiều năm trước, trang www.mathscope.org kết hợp với phong trào BM2E lại mở chuyên mục này. Công việc này, không có mục đích nào lớn hơn là để các thầy cô và các bạn học sinh có một nguồn tư liệu tham khảo hữu ích. Các bài toán sẽ được chia ra làm các thể loại như sau:
Các bài toán và lời giải-bình luận, sẽ được chúng tôi tổng hợp lại thành 1 file pdf. Bây giờ xin bắt đầu bằng chủ đề Số Học. Các bài toán Số Học
Sẽ update thường xuyên.. thay đổi nội dung bởi: Hải Thụy, 07-10-2019 lúc 11:59 PM |
17-09-2019, 01:30 AM | #2 |
Administrator Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 30 Thanks: 110 Thanked 183 Times in 68 Posts | Các bài toán Đại Số
Sẽ update thường xuyên.. thay đổi nội dung bởi: Hải Thụy, 12-10-2019 lúc 12:27 AM |
17-09-2019, 07:50 AM | #3 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 93 Thanks: 1 Thanked 68 Times in 45 Posts | Trích:
Giả sử $a,\,b\in\mathbb R$ thỏa mãn $f(a)=f(b)$, từ $\cal P(a,\,b)$ và $\cal P(b,\,a)$ có\[2f\left( a \right) + b = 2f\left( b \right) + a.\]Từ đây $a=b$, nói khác đi $f$ là đơn ánh, lại từ $\cal P\left(x,\,-f(x)\right)$ ta có\[f\left( {f\left( x \right) + 2f\left( { - f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( { - f\left( x \right)} \right).\]Từ tính đơn ánh của $f$, có\[f\left( x \right) + 2f\left( { - f\left( x \right)} \right) = - f\left( x \right).\]Nghĩa là có $f\left( { - f\left( x \right)} \right) = - f\left( x \right),\;(*)$, lại từ $\cal P\left(-f(x),\,x\right)$ có\[f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( {f\left( { - f\left( x \right)} \right) + 2f\left( x \right)} \right) = f\left( { - f\left( x \right)} \right) + x + f\left( x \right) = x.\]Kết hợp điều vừa có với $(*)$, là ta có $f(x)=x$ với mọi $x\in\mathbb R$. | |
17-09-2019, 09:06 AM | #4 |
Administrator | Yêu cầu của bài 6, 7 trong phần đại số cần đổi chỗ cho nhau. |
The Following User Says Thank You to namdung For This Useful Post: | Le khanhsy (18-09-2019) |
17-09-2019, 10:11 AM | #5 | |||||||
Super Moderator Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 48 Thanks: 52 Thanked 57 Times in 30 Posts | Trích:
Trích:
Trích:
Trích:
Trích:
Trích:
Trích:
thay đổi nội dung bởi: Hải Thụy, 15-10-2019 lúc 12:28 AM | |||||||
The Following User Says Thank You to Le khanhsy For This Useful Post: | MATHSCOPE (20-09-2019) |
17-09-2019, 10:14 AM | #6 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: BH Bài gởi: 212 Thanks: 135 Thanked 345 Times in 92 Posts | Trích:
\begin{equation*} f(0)= f\left(\dfrac{x^2}{2}\right) + x^2, \, \forall x \in \mathbb R \end{equation*} hay \begin{equation*} f(t)= -2t +c, \, \forall t\geq 0. \tag{2} \end{equation*} Thay $y=1$ vào (1), ta thu được \begin{equation*} f(x)= f\left(\dfrac{x^2+1}{2}\right) + (x-1)^2, \, \forall x \in \mathbb R.\tag{3} \end{equation*} Từ (2) và (3) suy ra \begin{equation*} f(x)=f\left(\dfrac{x^2+1}{2}\right) + (x-1)^2= -2\cdot\dfrac{x^2+1}{2} + c + (x-1)^2= c- 2x, \, \forall x \in \mathbb R. \end{equation*} Thử lại ta thấy hàm $f(x)= c -2x$ thoả mãn các điều kiện bài ra. p/s: Bài này hình như tính liên tục không có ý nghĩa? | |
The Following User Says Thank You to nguyentatthu For This Useful Post: | MATHSCOPE (20-09-2019) |
17-09-2019, 03:11 PM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 7 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post | Đặt $1-2+\ldots+2^{p-1}=\Phi_p(-2)$, ta có \[n = \left( {{2^p} - 1} \right)\left( {{2^p} + 1} \right) = 3.\left( {{2^p} - 1} \right){\Phi _p}\left( -2 \right).\]Rõ ràng là ${2^p} - 1\equiv (-1)^p-1\equiv 1\pmod 3$ và $2^p-1>2^3-1>1$, cho nên $2^p-1$ có một ước nguyên tố $q>3$, đồng thời do $p$ lẻ và bổ đề LTE, ta có\[{v_3}\left( {{\Phi _p}\left( -2 \right)} \right) = {v_3}\left( {\frac{{{2^p} + 1}}{{2 + 1}}} \right) = {v_3}\left( p \right) = 0.\]Lại để ý ${{\Phi _p}\left( -2 \right)}>1$ và\[1 \le \gcd \left( {{\Phi _p}\left( { - 2} \right),{\mkern 1mu} \,{2^p} - 1} \right) \le \gcd \left( {3{\Phi _p}\left( { - 2} \right),{\mkern 1mu} \,{2^p} - 1} \right) = \gcd \left( {{2^p} + 1,{\mkern 1mu} {2^p} - 1} \right) = 1.\]Vậy, $\Phi _p\left( { - 2} \right)$ có một ước nguyên tố $r$ nào đó với $3,\,q,\,r$ đôi một khác nhau, tức là $n$ có ít nhất ba ước nguyên tố phân biệt, lại có\[{2^n} - 8 = 8\left( {{2^{{2^{2p}} - 4}} - 1} \right) = 8\left( {{{16}^{{2^{2\left( {p - 1} \right)}} - 1}} - 1} \right).\]Theo FLT, thì có thể viết $2^{2(p-1)}-1=kp$ với $k\in\mathbb N^*$ và lại có\[{2^n} - 8 = 8\left( {{{16}^{kp}} - 1} \right) = 8n\sum\limits_{0 \le j \le 2k} {{{\left( {{2^{2p}}} \right)}^j}.} \]Từ đây có nốt điều cần chứng minh. |
17-09-2019, 03:30 PM | #8 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 8 Thanks: 2 Thanked 0 Times in 0 Posts | Trích:
| |
17-09-2019, 08:17 PM | #9 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 48 Thanks: 52 Thanked 57 Times in 30 Posts | Trích:
$$2\sqrt{3x-1}\sqrt{x(x^2+2)}=4x^2-x+2,$$ hay là $$2\sqrt{3x^2-x}\sqrt{x^2+2}=4x^2-x+2,$$ $$\left(\sqrt{x^2+2}-\sqrt{3x^2-x} \right)^2=0.$$ So sánh điều ta được $x=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}.$ | |
The Following User Says Thank You to Le khanhsy For This Useful Post: | MATHSCOPE (20-09-2019) |
18-09-2019, 12:23 AM | #10 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2019 Bài gởi: 1 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 1 Post | Trích:
p\\ 2k \end{array} \right){{45}^{p - 2k}}{{2019}^k}} .\]Bây giờ để ý là với mỗi số nguyên dương $k$, ta có $p\mid\dbinom{p}{2k}$ cho nên theo định lý Flt ta có\[\left\lfloor {{{\left( {45 + \sqrt {2019} } \right)}^p}} \right\rfloor - 89 \equiv 2\left( {{{45}^p} - 45} \right) \equiv 0\;\;\,\left( {\bmod p} \right).\] | |
The Following 2 Users Say Thank You to ThùyLinh For This Useful Post: | Le khanhsy (18-09-2019), MathForLife (03-10-2019) |
18-09-2019, 12:55 AM | #11 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2017 Bài gởi: 19 Thanks: 2 Thanked 3 Times in 3 Posts | Trích:
3 - 4{r^{2n}} &= 4\sum\limits_{0 \le k \le 2n - 1} {{r^k} = 4\left( {\frac{{{r^{2n}} - 1}}{{r - 1}}} \right).} \\ \left( {2n + 1} \right){r^{2n}} &= \sum\limits_{0 \le k \le 2n} {{r^k} = {r^{2n}} + \left( {\frac{{{r^{2n}} - 1}}{{r - 1}}} \right).} \end{array}\]Kết hợp lại, ta sẽ rút ra được\[{r^{2n}} = \frac{3}{{4 + 8n}},\;\;\,r = - \frac{{2n + 1}}{{6n}}.\]Vậy là có\[{\left( {\frac{{2n + 1}}{{6n}}} \right)^{2n}} = \frac{3}{{4\left( {2n + 1} \right)}}.\]Kéo theo\[4{\left( {2n + 1} \right)^{2n + 1}} = 3{\left( {6n} \right)^{2n}}.\]So sánh bậc của $2$ trong phân tích ra thừa số nguyên tố của hai vế, ta có điều cần chứng minh. | |
18-09-2019, 03:39 AM | #12 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 93 Thanks: 1 Thanked 68 Times in 45 Posts | Trích:
thay đổi nội dung bởi: Thụy An, 18-09-2019 lúc 03:42 AM | |
18-09-2019, 04:00 AM | #13 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2017 Bài gởi: 4 Thanks: 1 Thanked 1 Time in 1 Post | Giả sử viết được như thế, tức là có số nguyên dương $k$ để\[{2020^n} = \sum\limits_{k \le j \le k + 2018} {{{\left( {2k} \right)}^3}.} \]Vì $a^3\equiv a\mod 3$, nên dẫn đến mâu thuẫn\[1 \equiv {2020^n} \equiv \sum\limits_{k \le j \le k + 2018} {2j \equiv 2019\left( {2k + 2018} \right) \equiv 0\;\;\,\left( {\bmod 3} \right).} \] |
18-09-2019, 04:05 AM | #14 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2018 Bài gởi: 4 Thanks: 1 Thanked 1 Time in 1 Post | Trích:
| |
18-09-2019, 10:40 AM | #15 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 48 Thanks: 52 Thanked 57 Times in 30 Posts | Trích:
Trường hợp 1. Nếu $x+y=0$ ta thấy ngay hệ vô nghiệm vì $1=xy+z(x+y)=xy\le 0$. Trường hợp 2. Nếu $y+z=0$ tương tự hệ cũng vô nghiệm. Trường hợp 3. Hệ viết lại như sau $$ \left\{\begin{array}{c}{z+2y-x=0}, \\ {3z+x-2y=0}. \\ {x y+y z+z x=1}\end{array}\right.$$ Bằng phương pháp thế chúng ta thu được $(x,y,z)=\left(-\sqrt{2},-\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$ và $(x,y,z)=\left(\sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$. | |
The Following User Says Thank You to Le khanhsy For This Useful Post: | MATHSCOPE (20-09-2019) |
Bookmarks |
|
|