Chia hết cho 3^n

[an tl]

CMR 11.....1 (3^n chữ số 1) chia hết cho 3^n
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dep_kom_n]

đặt A =11..1 thì ta có 9A=$10^{3^{n}}-1 $

=>cần cm là $10^{3^{n}}\equiv1(mod3^{n+2}) $
=>quy nạp là nhanh nhất (cũng có thể dùng hệ thặng dư nửa đầy đủ nhưng hơi lâu)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NguyenNhatTan]

Quy nạp cho cái này lun : Số được thành lập bởi $3^{n} $ chữ số giống nhau thì chia hết cho $3^{n} $ , trong đó n là một số nguyên dương cho trước.
Thật vậy:
Giả sử $A(n)=\overline{aa...a} \vdots 3^{n} $ , trong đó $A(n) $ gồm $3^{n} $ chữ số $a $ và $1 \leq a \leq 9 $.
Ta có: $A(n+1)=\overline{A(n)A(n)A(n)}=A.10^{2.3^{n}}+A.10 ^{3^{n}}+A=A.(10^{2.3^{n}}+10^{3^{n}}+1) $
Dễ thấy $10^{2.3^{n}}+10^{3^{n}}+1 \vdots 3 $
Vậy A(n+1) chia hết cho $3^{n+1} $
=>...

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[abacadaeafag]

Đây là bài của THCS, chắc e nó đang chuẩn bị lên lớp 9, chưa học thặng dư đâu mà use, mà có dùng thì dùng chi cho dài
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]