Chứng minh rằng tồn tại một tập A thỏa mãn :

khanghaxuan · 04-04-2015, 12:07 PM

Chứng minh rằng tồn tại một tập A thỏa mãn :

1. Tập A gồm n phần tử phân biệt

2. Với mọi a thuộc A thì tích các phần tử còn lại chia a dư 1

pco · 27-01-2016, 10:03 AM

Nếu tập $A$ ở đây bạn nói là tập các số nguyên dương, thì dưới đây là lời giải của mình.

Ta sẽ đi xây dựng một tập $A= \{ a_1,a_2, \cdots ,a_n \}$ thoả mãn.

Lấy $a_1 \ge 2$ nguyên dương bất kì, $a_i= a_1a_2 \cdots a_{i-1}+1$ với mọi $2 \le i \le n-1$ và $a_n= a_1a_2 \cdots a_{n-1}-1$.

Khi đó nếu $a=a_n$ thì hiển nhiên thoả mãn điều kiện. Với $a=a_i \; (1 \le i \le n-1)$ thì ta có $a_l \equiv 1 \pmod{a_i}$ với mọi $n-1 \ge l \ge i+1$, $a_n \equiv -1 \pmod{a_i}$ và $a_1a_2 \cdots a_{i-1}=a_i-1 \equiv -1 \pmod{a_i}$. Khi đó $$a_1a_2 \cdots a_{i-1} \cdot a_{i+1} \cdots a_n \equiv 1 \pmod{a_i}.$$
Như vậy tập $A$ được xây dựng như trên thoả mãn yêu cầu bài toán. $\blacksquare$

04-04-2015, 12:07 PM	#1
khanghaxuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2014 Đến từ: Khánh Hòa Bài gởi: 23 Thanks: 51 Thanked 3 Times in 3 Posts	Chứng minh rằng tồn tại một tập A thỏa mãn : Chứng minh rằng tồn tại một tập A thỏa mãn : 1. Tập A gồm n phần tử phân biệt 2. Với mọi a thuộc A thì tích các phần tử còn lại chia a dư 1

27-01-2016, 10:03 AM	#2
pco +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 528 Thanks: 560 Thanked 195 Times in 124 Posts	Nếu tập $A$ ở đây bạn nói là tập các số nguyên dương, thì dưới đây là lời giải của mình. Ta sẽ đi xây dựng một tập $A= \{ a_1,a_2, \cdots ,a_n \}$ thoả mãn. Lấy $a_1 \ge 2$ nguyên dương bất kì, $a_i= a_1a_2 \cdots a_{i-1}+1$ với mọi $2 \le i \le n-1$ và $a_n= a_1a_2 \cdots a_{n-1}-1$. Khi đó nếu $a=a_n$ thì hiển nhiên thoả mãn điều kiện. Với $a=a_i \; (1 \le i \le n-1)$ thì ta có $a_l \equiv 1 \pmod{a_i}$ với mọi $n-1 \ge l \ge i+1$, $a_n \equiv -1 \pmod{a_i}$ và $a_1a_2 \cdots a_{i-1}=a_i-1 \equiv -1 \pmod{a_i}$. Khi đó $$a_1a_2 \cdots a_{i-1} \cdot a_{i+1} \cdots a_n \equiv 1 \pmod{a_i}.$$ Như vậy tập $A$ được xây dựng như trên thoả mãn yêu cầu bài toán. $\blacksquare$