Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Đại Số/Algebra

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 09-10-2018, 05:53 PM   #1
nmd2708
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Oct 2018
Bài gởi: 11
Thanks: 2
Thanked 0 Times in 0 Posts
Về hàm isomorphism

Cho $f:\,G\to G$ là một đồng cấu từ nhóm $G$ đến chính nó thỏa mãn $f$ có duy nhất một điểm bất động là phần tử trung hòa (tức là $f(a)=a$ khi và chỉ khi $a=e$). Chứng minh rằng nếu $f(f(a))=a$ với mọi $a\in G$ thì $f(x)=x^{-1}$ với mọi $x \in G$ và $G$ là nhóm Abel.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nmd2708 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 19-06-2019, 03:28 AM   #2
quangtu123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2014
Bài gởi: 11
Thanks: 3
Thanked 5 Times in 5 Posts
Mình mới giải được trường hợp $G$ giao hoán.

Giả sử $G$ là một nhóm giao hoán. Với mọi $x\in G$, $x\phi(x)$ là một điểm bất động. Suy ra $x\phi(x)=e$, $\phi(x)=x^{-1}$.

Với trường hợp tổng quát, mình định tìm cách xây dựng một điểm bất động (tương tự như $x\phi(x)$ trong trường hợp giao hoán) nhưng chưa tìm ra...


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
quangtu123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to quangtu123 For This Useful Post:
thaiphongnet (15-10-2019)
Old 25-06-2019, 02:26 AM   #3
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 731
Thanks: 603
Thanked 425 Times in 212 Posts

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-08-2019, 03:38 PM   #4
anysu
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2018
Bài gởi: 16
Thanks: 7
Thanked 1 Time in 1 Post
Ở đây ta cần thêm điều kiện $G$ hữu hạn
Xét $a\in G$, ta có:
$f(a^{-1}f(a))=f(a^{-1}).f(f(a))=f(a)^{-1}.a=(a^{-1}f(a))^{-1}$
Ta chứng minh $g:G\rightarrow G, a\rightarrow a^{-1}f(a)$ là một song ánh. Thật vậy đây là đơn ánh vì
$g(a)=g(b)\Leftrightarrow a^{-1}f(a)=b^{-1}f(b) \Leftrightarrow f(ab^{-1})=ab^{-1}\Leftrightarrow ab^{-1}=e\Leftrightarrow a=b$
Do đó $|Img|\ge |G|$ nên $|Img|=|G|$ nên $g$ là song ánh, dẫn tới $g$ là toàn ánh. Do đó $\forall x\in G, \exist a\in G: x=a^{-1}f(a)$ nên
$f(x)=f(a^{-1}f(a))=(a^{-1}f(a))^{-1}=x^{-1}$
Và $f(ab)=f(a).f(b)$ nên $ab=ba \forall a,b\in G$, G là nhóm abel
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
anysu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to anysu For This Useful Post:
quangtu123 (25-07-2020)
Old 25-07-2020, 06:30 PM   #5
quangtu123
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2014
Bài gởi: 11
Thanks: 3
Thanked 5 Times in 5 Posts
Nếu mệnh đề này không đúng trong trường hợp tổng quát, một bài toán đặt ra sẽ là, tìm một nhóm con vô hạn không abel $G$ và một đồng cấu nhóm $f:G\to G$ sao cho $f\circ f=\mathrm{id}$, $f$ có duy nhất một điểm bất động $e$ và $f$ không phải là phép nghịch đảo (i.e. tìm một phản ví dụ cho mệnh đề trong trường hợp tổng quát).

Mình định thử với nhóm $GL_n(\mathbb{R})$ và các inner automorphism nhưng chưa tìm được gì.

EDIT: rõ ràng là inner automorphism là không được, vì $x\mapsto gxg^{-1}$ có ít nhất hai điểm bất động là $e$ và $g$, nếu nhóm là không tầm thường.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: quangtu123, 26-07-2020 lúc 04:31 AM Lý do: thêm comment cho inner auto.
quangtu123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:51 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 51.74 k/58.07 k (10.89%)]