Chứng minh rằng 61!≡63!≡-1(mod 71)

[CanNotRegister]

Chứng minh rằng 61!≡63!≡-1(mod 71)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[2M]

Nguyên văn bởi CanNotRegister

1, Chứng minh rằng 61!≡63!≡-1(mod 71)
2, Một lớp học gồm n học sinh xếp thành một vòng tròn chơi trò chơi chuyền bóng ngược chiều kim đồng hồ theo quy tắc sau:
- Học sinh thứ 1 nhận bóng
- Học sinh thứ 1 bỏ qua học sinh thứ 2 để chuyền bóng cho học sinh thứ 3
- Học sinh thứ 3 bỏ qua học sinh thứ 4 và thứ 5 để chuyền bóng cho học sinh thứ 6
Cứ tiếp tục quá trình chuyền bóng như vậy, hãy chứng minh rằng nếu n không có ước lẻ thì tồn tại ít nhất 1 học sinh không bao giờ nhận được bóng

Lần sau nên post tách ra từng bài toán theo từng chủ đề, và chú ý đặt tên chủ đề cho sát thực nội dung bài toán bạn nhé

Thân mến!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[312cr9]

Nguyên văn bởi CanNotRegister

Chứng minh rằng 61!≡63!≡-1(mod 71)

Do 71 là số nguyên tố, nên theo định lý Wilson có 70!≡-1 mod 71. Giờ chỉ cần để ý các cặp nghịch đảo theo mod 71 sau là xong:

(2.5; -7), (9; 8), (6; 3.4)

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Newmath]

Nguyên văn bởi CanNotRegister

Chứng minh rằng 61!≡63!≡-1(mod 71)

Theo định lý Willson ta có
$ 70!\equiv (-1)\mod {71}$ mà $70!=63!.64.65\ldots 69.70$$\equiv 63!.(-7).(-6)\ldots (-2).(-1)\equiv(-1)^7.63!.70.72\equiv (-1)^7.63!.(-1).1\equiv 63!\mod 71 $
Do đó $ 63!\equiv -1\mod 71 $ và để ý rằng $ 63!=61!.62.63\equiv 61!.(-9)(-8)\equiv 61!.72\equiv 61!\mod 71 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]