Một số bài tập về nhóm

[99]

Trong topic này, 99 xin gửi một số bài tập về lý thuyết nhóm. ACE nào có hứng thú thì tham gia giải bài cho vui

Bài 1. Giả sử G là nhóm hữu hạn thỏa mãn Aut(G) tầm thường, chứng minh rằng $|G| \leq 2 $.

Bài 2. Xác định tất cả các nhóm cấp 99.

Bài 3. Chứng minh mọi nhóm cấp $p^2 $, với $p $ là số nguyên tố, đều là nhóm abel.

Bài 4. Cho nhóm đơn G không giao hoán có chứa một nhóm con chỉ số $n>2. $ Chứng minh rằng tồn tại nhúng $ G \to A_n $ với $A_n $ là nhóm thay phiên.

Bài 5. Giả sử G là nhóm có 6 phần tử. Chứng minh rằng $ G $ là $ S_3 $ hoặc $ \mathbb{Z}_6 $

Màu xanh = bài tập đã được giải.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[evarist]

Bổ sung cho anh 99 bài 5. Giả sử $G $ là nhóm có $6 $ phần tử, khi đó $G $ đẳng cấu với $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} $ nếu $G $ có duy nhất 1 nhóm con chuẩn tắc cấp $2 $, và đẳng cấu với $S_{3} $ nếu không có nhóm con chuẩn tắc cấp$ 2 $nào.
Bài này mình có 1 kỷ niệm khá vui với giáo sư Greenberg, hồi ấy mới học A.A, thầy ấy ra bài này, mình suy nghĩ 1 lát và 2 thầy trò đi từ V.P room tới lớp vừa đi vừa nói về lời giải, cảm thấy thầy vừa chuyên nghiệp vừa gần gũi.
Bài 6 : Chứng minh các nhóm cấp 8 không abel hoặc đẳng cấu với$ D_{4} $, hoặc đẳng cấu với $Q_{8} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Ôi zời, các GS Tây họ chuẩn bị bài giảng, bài tập và lời giải đều hay bỏ xừ . Mà anh cũng không hiểu sao Latex một số cái không hiển thị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Bạn evariste nên làm rõ các chi tiết chứng minh ra thì tốt hơn. Bài nhóm 8 phần tử cũng không hề dễ cho những ai mới học đại số.

Bài tập tiếp.

Bài 7. Chứng minh rằng $A_4 \not\cong D_{12} $ , ở đây $D_{12} $ là nhóm dihedral cấp 12.

Bài 8. Chứng minh rằng $D_{12} \cong S_3\times\mathbb{Z}_2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Lời giải bài 1 của 99 :

Ký hiệu Inn(G) là nhóm các tự đẳng cấu trong của G. Khi đó Inn(G) là nhóm tầm thường, ta suy ra G là nhóm abel. Xét ánh xạ $G\to G $ thỏa mãn $x\mapsto x^{-1} $. Đây là một đồng cấu nhóm do G là nhóm abel. Dễ thấy đây là đẳng cấu. Do Aut(G) tầm thường nên $x = x^{-1} $ với mọi $x\in G $. Từ đây sử dụng định lý cấu trúc nhóm abel, ta có thể chứng minh được cấp của G nhỏ hơn hoặc bằng 2. Nhưng xem ra cách làm này có vẻ "đao to" quá

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Lệnh Hồ Xung]

Thay mặt cậu evarist, đáp lễ anh 99 tý.
Trong 1 nhóm không abel cấp $8 $ $G $, chắc chắn phải tồn tại 1 phần tử cấp $4 $, giả sử là $x $. Lấy $y $ không thuộc $<x> $ suy ra $G=<x,y> $. Bây giờ lấy phần tử $yxy^{-1} $, phần tử này thuộc $<x> $ vì nó chuẩn tắc, chỉ có $x^3 $ hay $x^{-1} $ là thoả mãn. Còn cậu $y^2 $ cũng không thoát khỏi bàn tay em cyclic $<x> $, từ đây suy ra $y^2=e $, hay $y^2=x^2 $.
Do đó có thể biểu diễn G như :
$<x,y| x^4=y^2=e, yxy^{-1} =x^{-1}> $
hay :
$<x,y| x^4=e, x^2=y^2, yxy^{-1}=x^{-1}> $

2 em xinh tươi này, 1 em là $D_{4} $, em còn lại là $Q_{8} $.
Việc xem xét các phần tử và cấp của nó trong 1 nhóm là khá tốt, từ đó ta có thể biết 2 nhóm có đẳng cấu với nhau hay không, hay tự rút được cấu trúc nhóm trong đó. Chẳng hạn như bài 7 của anh 99
Trong lý thuyết nhóm, p-nhóm là đối tượng khá thú vị, nếu em đoán không nhầm anh 99 đang học lý thuyết nhóm(cao học) đúng không anh, anh viết vài bài hay ho về cái này đi.
Thêm 1 bài thú vị nữa :

Bài 9 : Cho 1 nhóm $G $, $H $ là nhóm con chỉ số $p $ với $p $ là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết $|G| $. Khi đó $H $ chuẩn tắc.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi Lệnh Hồ Xung

Trong lý thuyết nhóm, p-nhóm là đối tượng khá thú vị, nếu em đoán không nhầm anh 99 đang học lý thuyết nhóm(cao học) đúng không anh, anh viết vài bài hay ho về cái này đi.

Cám ơn bạn evariste/LHX. Về khoản đoán thì bạn đoán nhầm, mình đang học đại số trừu tượng/abstract algebra thôi, mà bản thân mình cũng không thích đại số, nên chẳng biết cái nào là cái hay ho cả

Mình cũng học p-nhóm rồi, nhưng chưa thấy nó có gì hay cũng như hấp dẫn. Nếu evariste/LHX thấy nó hấp dẫn thì có thể chỉ ra vài điểm hấp dẫn của nó được không?

Cá nhân mình thấy p-nhóm có gì đó giống xuyến (torus) trong nhóm Lie. Nhưng tiếc là không có thời gian tìm hiểu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi 99

mà bản thân mình cũng không thích đại số, nên chẳng biết cái nào là cái hay ho cả

Em đoán là anh 99 thích giải tích
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[evarist]

Mình cũng học p-nhóm rồi, nhưng chưa thấy nó có gì hay cũng như hấp dẫn. Nếu evariste/LHX thấy nó hấp dẫn thì có thể chỉ ra vài điểm hấp dẫn của nó được không?

Cá nhân mình thấy p-nhóm có gì đó giống xuyến (torus) trong nhóm Lie. Nhưng tiếc là không có thời gian tìm hiểu

Có chăng anh viết 1 bài gì đó về nhóm Lie, lý thuyết biểu diễn tý nhỉ ? Rồi chỉ em tương tự thế nào phát, bản thân em rất thích môn này nhưng không được học, mà tự học thì cũng không có đủ thời gian. Rồi em sẽ mang $p $-nhóm ra cũng chưa muộn

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi evarist

Có chăng anh viết 1 bài gì đó về nhóm Lie, lý thuyết biểu diễn tý nhỉ ? Rồi chỉ em tương tự thế nào phát, bản thân em rất thích môn này nhưng không được học, mà tự học thì cũng không có đủ thời gian. Rồi em sẽ mang $p $-nhóm ra cũng chưa muộn

Chào em, anh tự học món này cách đây 3 năm, và giờ thì coi như chả biết gì nữa. Thời đại học anh cũng hay nghe các bậc đàn anh và máu me vào mấy cái nhóm nheo, nhưng giờ anh tự thấy rằng đó là thứ không hợp với mình.

Nếu em muốn trao đổi cái gì thì nên là người bắt đầu trước, vì ai cũng bận cả (như anh, tuần học hơn 40 tiết, thở còn khó nói gì viết tiểu luận cho chú ). Lý thuyết sơ cấp biểu diễn nhóm hữu hạn được trình bày trong cuốn đại số đại cương của thầy Hưng nên anh nghĩ là sv KHTN ai cũng phải biết chứ nhỉ

Anh chỉ còn nhớ mang máng là mọi p-nhóm con Sylow đều liên hợp với nhau, điều này cũng giống với mọi xuyến cực đại/maximal torus của nhóm Lie (có thể là compact, liên thông gì đó, lâu rồi nên quên). Kể ra giờ có thời gian ôn lại thì cũng thích, không ngờ nó lại có sự tương tự này

Nguyên văn bởi novae

Em đoán là anh 99 thích giải tích

Nói thật là anh cũng chả biết anh thích cái gì Năm sau chắc mới rõ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi 99

Cá nhân mình thấy p-nhóm có gì đó giống xuyến (torus) trong nhóm Lie. Nhưng tiếc là không có thời gian tìm hiểu

Nhận định này là không đúng, mình vừa xem lại một tẹo thấy điều đó hoàn toàn không có lý. Evariste đừng bận tâm về điều đó nữa nhé kẻo lại bảo mình tung tin vớ vẩn . Bây giờ ta cũng nên tạm dừng bàn những vấn đề xa xôi, topic này dùng để trao đổi bài tập đã

Bài 10. Chứng minh rằng $A_4 $ không có nhóm con cấp 6.

Nhận xét : bài 7 là hệ quả của bài này.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Mình vừa đọc lại sách Algebra của Lang thì thấy : Bài 6 và bài 9 là hai bài tập trong chương 1 cuốn Algebra của Lang

Có lẽ ta nên nhắc lại thế nào là nhóm dihedral và nhóm quaternion nhỉ?

Nhóm quaternion [Only registered and activated users can see links. ]
Nhóm dihedral [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Lệnh Hồ Xung]

Nguyên văn bởi 99

Mình vừa đọc lại sách Algebra của Lang thì thấy : Bài 6 và bài 9 là hai bài tập trong chương 1 cuốn Algebra của Lang

Có lẽ ta nên nhắc lại thế nào là nhóm dihedral và nhóm quaternion nhỉ?

Nhóm quaternion [Only registered and activated users can see links. ]
Nhóm dihedral [Only registered and activated users can see links. ]

Em không đọc cuốn này, vì nghe rất nhiều người khuyên nó chỉ phù hợp cho tra cứu. Không biết có lời giải cho 2 bài đó không ? Em nhớ 2 bài này, vì ở bài 6 là trường hợp đặc biệt trong nhóm cấp lũy thừa nguyên tố, bài 9 là 1 kết quả đẹp mà từ đó mình có thể phân loại nhóm cấp $6 $, nó gắn với cái kỷ niệm mà em nhắc đến ở trên.
Em đồng ý là không đao to búa lớn làm gì, kẻo có người bảo là cuồng ngôn loạn ngữ (mặc dù em biết là 2 cái kia cũng chưa đến mức như thế ). Quyển thầy Hưng dĩ nhiên em biết, nhưng phần lý thuyết biểu diễn trong đó, thú thực em không thích.
$p $ nhóm, nó thú vị vì nó đóng vai trò cơ bản trong đại số, cũng như số nguyên tố vậy. Tính chất anh bảo (liên hợp) chỉ đúng cho $p $ nhóm con Sylow. Bạn nào chưa biết có thể đọc ở đây [Only registered and activated users can see links. ](cái link này chắc thừa ).
Giờ mới để ý bài 8 của anh 99. Trông đẹp phết . Em mới nghĩ qua thế này, không biết đúng ý anh 99 ko ? Giả sử $\sigma $ là phép đối xứng trục, thế thì $<\sigma> $ đẳng cấu với $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $, còn nhóm dihedral cấp $6 $ $D_{6} $ đẳng cấu với $S_{3} $.(Dấu đẳng cấu trong LaTex gõ thế nào anh 99 nhỉ ?)
Bài 11 : Chứng minh rằng trong 1 nhóm hữu hạn $G $ cấp $n $, nếu $H $ là nhóm con duy nhất cấp $k $ thì $H $ chuẩn tắc.
@: Anh 99 sửa bài em thêm vào mấy cái bài x à

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi Lệnh Hồ Xung

Giờ mới để ý bài 8 của anh 99. Trông đẹp phết . Em mới nghĩ qua thế này, không biết đúng ý anh 99 ko ? Giả sử $\sigma $ là phép đối xứng trục, thế thì $<\sigma> $ đẳng cấu với $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $, còn nhóm dihedral cấp $6 $ $D_{6} $ đẳng cấu với $S_{3} $.(Dấu đẳng cấu trong LaTex gõ thế nào anh 99 nhỉ ?)

Bài số 8 mà làm qua loa là sẽ không ra, vì nó là bài tập cụ thể, cần tính toán.

Dấu đẳng cấu : \cong $\cong $

Bài 11 của chú sao anh thấy nó hiển nhiên thế. Có mỗi một nhóm thì mọi nhóm liên hợp với nó là chính nó, vậy thì nó đương nhiên chuẩn tắc.

Gửi thêm vài bài hay hay và "chén được" trong chương 1 của Lang

Bài 12. Chứng minh mọi nhóm cấp nhỏ hơn hoặc bằng 5 là abel.

Bài 13. Chứng minh có đúng hai nhóm không đẳng cấu cấp 4.

Bài 14. Cho $G $ là nhóm, $A $ là một nhóm con abel chuẩn tắc của G. Chứng minh rằng $G/A $ tác động lên $A $ bởi liên hợp, và theo cách đó ta thu được một đồng cấu nhóm từ $G/A $ vào $Aut(A). $

Bài 15. Chứng minh mọi nhóm cấp 15 là cylic.

Bài 16. Xác định tất cả các nhóm cấp nhỏ hơn hoặc bằng 10 sai khác đẳng cấu.

Bài 17. Chứng minh rằng nhóm con và nhóm thương của nhóm giải được là giải được.

Bài 18. Giả sử G là nhóm (cấp bất kỳ) và H là một nhóm con chỉ số hữu hạn. Chứng minh rằng tồn tại nhóm chuẩn tắc N của G được chứa trong H và có chỉ số hữu hạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[evarist]

Bài 11 của chú sao anh thấy nó hiển nhiên thế. Có mỗi một nhóm thì mọi nhóm liên hợp với nó là chính nó, vậy thì nó đương nhiên chuẩn tắc

Thì anh chả bảo là trao đổi cơ bản mà . Hóa ra là bài tập anh lấy trong sách của Lang à, bọn anh học cao học học quyển đó ạ ?
Tổng quát bài 15, chứng minh sử dụng tính liên hợp của $p $ nhóm con Sylow, cũng là 1 kết quả rất đẹp :
Bài 19 Giả sử $G $ là nhóm cấp $pq $ trong đó $p $ không chia hết $q-1 $. Khi đó $G $ cyclic.
Về bài 12, ngày xưa thầy giáo có đưa ra, em nghỉ học nên giờ vẫn chỉ giữ lời giải là liệt kê các nhóm ra rồi xét , chả biết lời giải khác thế nào. Bài 13 thì cũng khác gì mấy nhỉ, xét như bài cấp 8 trên kia thôi, 2 nhóm ấy là $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} $ và $D_{4} $.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]