Seminar "Các bài toán về nghiệm của đa thức"

[huynhcongbang]

Chào các bạn,
Seminar các phương pháp toán sơ cấp sẽ được tiếp tục vào ngày 24/10/2010 với chủ đề "Các bài toán về nghiệm của đa thức".
Địa điểm: Phòng A702, trường PTNK, 153 Nguyễn Chí Thanh, Quận 5
Thời gian: Từ 8h30-11h00 sáng chủ nhật 24/10/2010.

Đề tài cho Seminar lần này là các bài toán về nghiệm của đa thức được xét dưới hai góc độ:
- Nghiệm với yếu tố đại số: nghiệm của các phương trình, định lí Viete,...
- Nghiệm với yếu tố giải tích: xác định số nghiệm, xác định khoảng chứa nghiệm bằng đạo hàm, giới hạn, quy tắc dấu Đề - các,...
Xoay quanh hai vấn đề đó, nội dung seminar cũng mong muốn nêu được ứng dụng của đa thức trong việc giải một số bài toán trong đại số - giải tích như: chứng minh BĐT bằng cách dùng đa thức, tính giá trị biểu thức, giải phương trình, giải các bài toán PT hàm...cụ thể ở các đề thi HSG.

Xin nêu hai bài toán mở đầu cho chủ đề:
Bài 1 (Iran NMO 2010)
Giả sử đa thức $P(x)=x^{2010} \pm x^{2009} \pm x^{2008} ...\pm x \pm 1 $ không có nghiệm thực. Tìm giá trị lớn nhất số các hệ số là -1 của đa thức này.

Bài 2 (Indonesia TST 2010)
Xét đa thức $\phi (x)=ax^3+bx^2+cx+d $ có ba nghiệm thực dương (không nhất thiết phân biệt) và $\phi (0) < 0 $. Chứng minh rằng:
$2b^3+9a^2d - 7abc \le 0 $.

Rất mong được các bạn giúp đỡ và ủng hộ.
Xin cảm ơn rất nhiều!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[BlnGcc]

Vấn đề thú vị đây. Phúc Lữ cho anh xin địa chỉ e-mail để liên hệ nhé. Thanks

PS. E-mail: [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[can_hang2008]

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Xin nêu hai bài toán mở đầu cho chủ đề:
Bài 1 (Iran NMO 2010)
Giả sử đa thức $ P(x)=x^{2010} \pm x^{2009} \pm x^{2008} ...\pm x \pm 1 $ không có nghiệm thực. Tìm giá trị lớn nhất số các hệ số là -1 của đa thức này.

Bài 2 (Indonesia TST 2010)
Xét đa thức $\phi (x)=ax^3+bx^2+cx+d $ có ba nghiệm thực dương (không nhất thiết phân biệt) và $\phi (0) < 0 $. Chứng minh rằng:
$2b^3+9a^2d - 7abc \le 0 $.

Rất mong được các bạn giúp đỡ và ủng hộ.
Xin cảm ơn rất nhiều!

Hai bài này đơn giản thôi.

Bài 1. Vì $ P(x) $ có bậc chẵn nên giả thiết $ P(x) $ không có nghiệm thực tương đương với ta có
$ P(x)>0, $ $ \forall x \in \mathbb R. $
Gọi $ k $ số các hệ số có giá trị bằng $ -1 $ của $ P(x). $ Ta có
$ P(1)=2011-2k. $
Do $ P(1)>0 $ nên $ k<\frac{2011}{2} $ mà $ k $ nguyên nên ta có $ k \le 1005. $
Ta sẽ chứng minh đây chính là giá trị lớn nhất của $ k, $ tức tồn tại đa thức $ P(x) $ có $ 1005 $ hệ số bằng $ -1, 1006 $ hệ số bằng $ 1 $ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Thật vậy, xét
$ P(x)=x^{2010}-x^{2009}+x^{2008}-x^{2007}+\cdots +x^2-x+1. $
Với $ x \ge 1, $ ta có
$ P(x)=x^{2009}(x-1)+x^{2007}(x-1)+\cdots +x(x-1)+1>0. $
Với $ x <1, $ ta có
$ P(x)=x^{2010}+x^{2008}(1-x)+x^{2006}(1-x)+\cdots +(1-x)>0. $

Từ đây suy ra đa thức $ P(x) $ như trên thỏa mãn yêu cầu bài toán, hơn nữa nó có $ 1005 $ hệ số bằng $ -1. $

Vậy $ k_{\max}=1005. $

Bài 2. Từ giả thiết suy ra $ a>0 $ và $ d <0. $ Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho $ a^3>0, $ ta viết được nó lại thành
$ 2\cdot \left(\frac{b}{a}\right)^3+9\cdot \frac{d}{a}- 7\cdot \frac{b}{a}\cdot \frac{c}{a} \le 0. $
Áp dụng định lý Viette, ta được
$ \left\{\begin{aligned} &\frac{b}{a}=-(x+y+z) \\ &\frac{c}{a} =xy+yz+zx \\ &\frac{d}{a}=-xyz\end{aligned}\right., $
trong đó $ x,y,]z $ lần lượt là các nghiệm dương của $ \phi (x). $
Thay vào bất đẳng thức trên, ta được
$ -2(x+y+z)^3-9xyz +7(x+y+z)(xy+yz+zx) \le 0, $
hay
$ 2(x^3+y^3+z^3) \ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x). $
Bất đẳng thức này đúng do ta có $ u^3+v^3 \ge uv(u+v), $ $ \forall u,v \ge 0. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[BlnGcc]

Gởi P.Lữ bài toán đơn giản sau: Cho các số thực a, b, c thỏa các điều kiện: a +b + c > 0; ab + bc +ca >0 và abc > 0. CMR: a, b, c là các số thực dương.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi BlnGcc

Gởi P.Lữ bài toán đơn giản sau: Cho các số thực a, b, c thỏa các điều kiện: a +b + c > 0; ab + bc +ca >0 và abc > 0. CMR: a, b, c là các số thực dương.

Em rất thích những bài toán có hình thức đơn giản mà thú vị thế này. Cảm ơn anh nhiều lắm!

Em đã add nick anh rồi!

------------------------------
Hic! Bên mathlinks nó giải phức tạp quá chừng, không ngờ anh Cẩn có cách nhanh gọn như vậy!

Đúng là Latex của diễn đàn bị sao rồi! Hic hic!

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Tìm tổng bình phương nghịch đảo các nghiệm (kể cả phức (nếu có )) của ptr $x=\tan{x} $

Nhìn sơ qua thì không thấy liên quan đa thức , nhưng anh " cảm giác " thoáng qua trong đầu có thể dùng các kq của đa thức để giải quyết

Chuyển về chuổi , chuổi là giới hạn của tổng riêng phần (đa thức)

------------------------------
Thêm 1 bài , xét đa thức $P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i,a_n\neq 0 $
Gọi $x_0 $ là nghiệm thực của ptr thì $|x_0|\le 1+(?) $ sẽ bổ sung sau

Hình như là $|x_0|\le 1+\max_{0\le i\le n}|\frac{a_i}{a_n}| $

(Bài toán này có ý nghĩa trong ứng dụng đây )

Hay bất kì một đánh giá về nghiệm của ptr (thực lẫn phức).Từ cơ sở này , tiến dần đến mong mỏi tìm lời giải số cho ptr đa thức
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

? là max của $|a_i/a_1| $ với $a_1 $là hệ số đầu tiến-cm đơn giản =bdt tam giác
Ud mới nhất là IMO sl 2005 A1
@anh lữ:về cm bdt =đa thức có lẽ phải nêu thêm Nội suy La Grăng

em sẽ pót vài bài nếu rảnh và nhớ

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi nvthanh1994

? là max của $|a_i/a_1| $ với $a_1 $là hệ số đầu tiến-cm đơn giản =bdt tam giác
Ud mới nhất là IMO sl 2005 A1

$a_1 $ hay $a_n $?

Thử áp dụng cho : $p(x)=x^2-2x $ thì sẽ nhận ra !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyentatthu]

Gửi Lữ mấy bài
Bài 1:Cho phương trình : $2{{x}^{5}}-{{x}^{4}}-10{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+8x-2=0 $
1) Chứng minh rằng phương trình (1) có đúng 5 nghiệm.
2) Gọi ${{x}_{i}}\text{ }(i=\overline{1,5}) $ là 5 nghiệm của (1). Tính tổng :$S=\sum\limits_{i=1}^{5}{\frac{{{x}_{i}}+1}{2x_{i}^ {5}-x_{i}^{4}-2}} $.
Bài 2: Cho phương trình ${{x}^{3}}-a{{x}^{2}}+bx-{{c}^{3}}=0 $ có ba nghiệm và $b<ac, c>0 $. Chứng minh rằng phương trình có đúng một nghiệm lớn hơn c.
Bài 3: Cho đa thức $f(x) $ có bậc 2007 và có 2007 nghiệm dương. Chứng minh rằng phương trình sau cũng có 2007 nghiệm dương.
$(1-2007x)f(x)+({{x}^{2}}+2007x-1)f'(x)-{{x}^{2}}f''(x)=0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anne™]

Nguyên văn bởi BlnGcc

Cho các số thực a, b, c thỏa các điều kiện: a +b + c > 0; ab + bc +ca >0 và abc > 0. CMR: a, b, c là các số thực dương.

Dễ thấy a,b,c khác 0. Giả sử tồn tại 1 số bé hơn 0. Không mất tính tổng quát:
Giả sử: $a<0 $
$abc>0 \Rightarrow bc<0 $
$a+b+c>0\Rightarrow b+c>-a>0 $
$ab+bc+ca>0\Rightarrow a(b+c)>-bc>0 $
$\Rightarrow a>\frac{-bc}{b+c}>0 \Rightarrow $ Vô lý $\Rightarrow $ đpcm

Nguyên văn bởi nguyentatthu

Bài 1:Cho phương trình : $2{{x}^{5}}-{{x}^{4}}-10{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+8x-2=0 $
1) Chứng minh rằng phương trình (1) có đúng 5 nghiệm.

$f(-2)=-10 $
$f(-1.5)=4 $
$f(-1)=-1 $
$f(0)=-2 $
$f(0.5)=1.25 $
$f(1)=-1 $
$f(3)=175 $
Phương trình có 5 nghiệm trong các khoảng $(-2,-1.5); (-1.5,-1); (0,0.5); (0.5,1); (1,3) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nói đến các bài toán về nghiệm của đa thức thì không thể không nhắc đến bài toán sau:
(VMO 2003) Cho 2 đa thức $ P(x)=4x^3-2x^2-15x+9 $ và $Q(x)=12x^3+6x^2-7x+1 $.

1. Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có 3 nghiệm thực phân biệt.
2. Kí hiệu $\alpha,\beta $ lần lượt là nghiệm lớn nhất của $P(x),Q(x) $. Chứng minh rằng $\alpha^2+3\beta^2=4 $.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hung95]

Nguyên văn bởi Anne™

$f(-2)=-10 $
$f(-1.5)=4 $
$f(-1)=-1 $
$f(0)=-2 $
$f(0.5)=1.25 $
$f(1)=-1 $
$f(3)=175 $
Phương trình có 5 nghiệm trong các khoảng $(-2,-1.5); (-1.5,-1); (0,0.5); (0.5,1); (1,3) $

đây là phương pháp j hả mọi người???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anne™]

Nguyên văn bởi novae

(VMO 2003) Cho 2 đa thức $P(x)=4x^3-2x^2-15x+9 $ và $Q(x)=12x^3+6x^2-7x+1 $.

1. Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có 3 nghiệm thực phân biệt.
2. Kí hiệu $\alpha,\beta $ lần lượt là nghiệm lớn nhất của $P(x),Q(x) $. Chứng minh rằng $\alpha^2+3\beta^2=4 $.

1/ Có thể giải theo pp trên
2/

CM các điều sau:
$16\alpha ^6-124\alpha^4+261\alpha^2-81=0 (*) $
$4-\alpha^2>0 $
$x_{0}=\frac{\sqrt{3(4-\alpha^2)}}{3} $ là nghiệm của Q(x) bằng cách thay vào Q(x) và biến đổi thành (*)
$x_{0}=\beta $

Thêm bài 5 bảng B VMO 2003: Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn hệ thức:
$(x^3+3x^2+3x+2)P(x-1)=(x^3-3x^2+3x-2)P(x) $ với mọi số thực x.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[BlnGcc]

Nguyên văn bởi Anne™

Dễ thấy a,b,c khác 0. Giả sử tồn tại 1 số bé hơn 0. Không mất tính tổng quát:
Giả sử: $a<0 $
$abc>0 \Rightarrow bc<0 $
$a+b+c>0\Rightarrow b+c>-a>0 $
$ab+bc+ca>0\Rightarrow a(b+c)>-bc>0 $
$\Rightarrow a>\frac{-bc}{b+c}>0 \Rightarrow $ Vô lý $\Rightarrow $ đpcm

Giả sử $p = a + b + c; q = ab + bc + ca, r = abc $. Khi đó $a, b, c $là các nghiệm của phương trình $x^3 - px^2 + qx - r = 0 $ hay $x(x^2 + q) = px^2 + r $. Chú ý rằng vế phải luôn dương và $x^2 + q>0 $ nên suy ra $x > 0 $. Done!

Các ví dụ về ứng dụng tính chất nghiệm của đa thức để chứng minh bất đẳng thức vẫn còn ít, nên phân biệt ứng dụng dụng của đa thức trong cm bdt chứ không phải cm bdt liên quan đến nghiệm (hoặc hệ số của đa thức)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Lời giải

Nguyên văn bởi Anne™

Dễ thấy a,b,c khác 0. Giả sử tồn tại 1 số bé hơn 0. Không mất tính tổng quát:
Giả sử: $a<0 $
$abc>0 \Rightarrow bc<0 $
$a+b+c>0\Rightarrow b+c>-a>0 $
$ab+bc+ca>0\Rightarrow a(b+c)>-bc>0 $
$\Rightarrow a>\frac{-bc}{b+c}>0 \Rightarrow $ Vô lý $\Rightarrow $ đpcm

này không phù hợp với chuyên đề

Nguyên văn bởi BlnGcc

Giả sử $p = a + b + c; q = ab + bc + ca, r = abc $. Khi đó $a, b, c $là các nghiệm của phương trình $x^3 - px^2 + qx - r = 0 $ hay $x(x^2 + q) = px^2 + r $. Chú ý rằng vế phải luôn dương và $x^2 + q>0 $ nên suy ra $x > 0 $. Done!

Các ví dụ về ứng dụng tính chất nghiệm của đa thức để chứng minh bất đẳng thức vẫn còn ít, nên phân biệt ứng dụng dụng của đa thức trong cm bdt chứ không phải cm bdt liên quan đến nghiệm (hoặc hệ số của đa thức)

Lời giải phù hợp
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]