Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 15-09-2018, 12:48 AM   #1
vjpd3pz41iuai
+Thành Viên+
 
vjpd3pz41iuai's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 302
Thanks: 129
Thanked 130 Times in 81 Posts
Bài bđt THCS

Cho các số thực dương a,b,c.CMR
$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a +b}\geq \frac{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
vjpd3pz41iuai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 15-09-2018, 01:33 AM   #2
manhngo
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 4
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi vjpd3pz41iuai View Post
Cho các số thực dương a,b,c.CMR
$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a +b}\geq \frac{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{2} $
Theo Cauchy-Schwarz có\[\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{a + c}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \frac{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2}}{{{a^2}\left( {b + c} \right) + {b^2}\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)}}.\]Giờ ta đi chứng minh\[\frac{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2}}{{{a^2}\left( {b + c} \right) + {b^2}\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{2}.\]Đặt $a^2+b^2+c^2=T,\;a+b+c=S$, ta có\[3T = {S^2} + {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge {S^2}.\]Đồng thời có biến đổi sau\[{a^2}\left( {b + c} \right) + {b^2}\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right) = ST - \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right).\]Mặt khác theo Cauchy-Schwarz thì\[S\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \ge {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} = {T^2} \ge \frac{1}{3}T{S^2}.\]Từ đó mà có được\[{a^2}\left( {b + c} \right) + {b^2}\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right) \le ST - \frac{1}{3}ST = \frac{2}{3}ST.\]Vì thế ta có được\[\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{a + c}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \frac{{{T^2}}}{{\frac{2}{3}ST}} = \frac{{\sqrt {3T} }}{2}\sqrt {\frac{{3T}}{{{S^2}}}} \ge \frac{{\sqrt {3T} }}{2}.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
manhngo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 05:10 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 41.30 k/45.47 k (9.17%)]