Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2013

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 12-01-2013, 11:13 AM   #1
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,980
Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts
[VMO 2013] Bài 6 - Hình học


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 12-01-2013 lúc 11:48 AM
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
kimlinh (12-01-2013), liverpool29 (12-01-2013), manhnguyen94 (12-01-2013)
Old 12-01-2013, 11:29 AM   #2
High high
+Thành Viên+
 
High high's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: CLA
Bài gởi: 538
Thanks: 183
Thanked 136 Times in 63 Posts
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứ điểm $A$. Đường thẳng $\vartriangle $ thay đổi đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác $ABH, ACH$ tại $M,N$ ($M,N$ khác $H$)
a)Xác định vị trí của đường thẳng $\vartriangle $ để diện tích tam giác $AMN$ lớn nhất
b)Kí hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc $DB, d_2$ là đường thẳng qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1$ và $d_2$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sẽ không quên nỗi đau này..!
High high is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to High high For This Useful Post:
hongduc_cqt (12-01-2013), kimlinh (12-01-2013), Lan Phuog (12-01-2013), Nguyen Van Linh (12-01-2013), trang96 (12-01-2013), triethuynhmath (12-01-2013)
Old 12-01-2013, 11:41 AM   #3
liverpool29
+Thành Viên+
 
liverpool29's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Đến từ: hue
Bài gởi: 348
Thanks: 425
Thanked 560 Times in 237 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi High high View Post
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứ điểm $A$. Đường thẳng $\vartriangle $ thay đổi đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác $ABH, ACH$ tại $M,N$ ($M,N$ khác $H$)
a)Xác định vị trí của đường thẳng $\vartriangle $ để diện tích tam giác $AMN$ lớn nhất
b)Kí hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc $DB, d_2$ là đường thẳng qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1$ và $d_2$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định
Câu a: Ta có $R_{AHB}=R_{AHC}=R_{BHC}=R_{ABC}$, không đổi.
Mặt khác tam giác $AMN$ cân tại $A$, và góc $NAM$ không đổi, nên $S_{AMN}$ phụ thuộc vào $AM$. Ta có $AM$ lớn nhất khi và chỉ khi $\vartriangle$ vuông góc $AH$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
LIFE HAS SENT TO US A MIRACLE, IT'S GEOMETRY

"Don't try your best. Do your best."

thay đổi nội dung bởi: liverpool29, 12-01-2013 lúc 11:49 AM
liverpool29 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 11:42 AM   #4
triethuynhmath
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG TPHCM
Bài gởi: 42
Thanks: 77
Thanked 34 Times in 23 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi High high View Post
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứ điểm $A$. Đường thẳng $\vartriangle $ thay đổi đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác $ABH, ACH$ tại $M,N$ ($M,N$ khác $H$)
a)Xác định vị trí của đường thẳng $\vartriangle $ để diện tích tam giác $AMN$ lớn nhất
b)Kí hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc $DB, d_2$ là đường thẳng qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1$ và $d_2$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định
Câu $a$ bài hình lại là 1 câu cho điểm Hix Hix (cũng y chang bài 3a) ngày 1).
Kẻ đường kính $AM1,AN1$ của $(ABH),(ACH)$.Vậy ta có $M1,N1$ cố định)
Ta dễ dàng chứng minh $M1,H,N1$ thẳng hàng và tam giác $AM1N1$ đồng dạng tam giác $AMN$ nên: $\frac{S_{AMN}}{S_{AM1N1}}=\frac{AM^2}{AM1^2}\leq 1(AM \leq AM1)\Rightarrow S_{AMN}\leq S_{AM1N1}$ không đổi.
Dấu"=" xảy ra khi $M \equiv M1,N \equiv N1$.Dễ dàng nhận thấy có dấu "=" xảy ra.
P/s: bài này là lớp $9$ mà
Trích:
Nguyên văn bởi liverpool29 View Post
Câu b: Cho em hỏi và điểm $M,N$ có cố định trong câu b không ạ?
Mình nghĩ là không đâu bạn à vì đề cho rõ là $d$ di động.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: triethuynhmath, 12-01-2013 lúc 11:46 AM
triethuynhmath is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 11:44 AM   #5
Nguyen Van Linh
Moderator
 
Tham gia ngày: Aug 2009
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 277
Thanks: 69
Thanked 323 Times in 145 Posts
A, Dễ dàng có hai đường tròn $(AHB)$ và $(AHC)$ bằng nhau. $AM$ và $AN$ là 2 dây cung chắn góc $AHM$ và $AHN$ nên $AM=AN$.
$\angle MAN=\angle MAB+\angle BAC+\angle CAN=\angle BAC+\angle MHB+\angle NHC=\angle BAC+180^o-\angle BHC=2\angle BAC.$
Tam giác $MAN$ cân tại $A$ có $\angle MAN$ không đổi nên diện tích nhỏ nhất khi $MN$ vuông góc $AH$.
b, Gọi giao điểm 2 đường thẳng là $J$. $\angle MJN=180^o-\angle BDC=\angle BAC.$
Do đó $J$ thuộc đường tròn $(A, AM).$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Nguyen Van Linh, 12-01-2013 lúc 11:47 AM
Nguyen Van Linh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 6 Users Say Thank You to Nguyen Van Linh For This Useful Post:
blackholes. (12-01-2013), Goin (12-01-2013), Hmh1996 (12-01-2013), ntuan5 (12-01-2013), tangchauphong (12-01-2013), tsunajudaime (12-01-2013)
Old 12-01-2013, 11:44 AM   #6
hakudoshi
+Thành Viên+
 
hakudoshi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->???
Bài gởi: 210
Thanks: 102
Thanked 179 Times in 90 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi liverpool29 View Post
Câu b: Cho em hỏi và điểm $M,N$ có cố định trong câu b không ạ?
$M,N $ thay đổi mới ra thi chứ bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Touch me touch me, don't be shy
I'm in charge like a G.U.Y.
I'll lay down face up this time
Under you like a G.U.Y.
hakudoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 11:46 AM   #7
Nguyen Van Linh
Moderator
 
Tham gia ngày: Aug 2009
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 277
Thanks: 69
Thanked 323 Times in 145 Posts
Câu b phải là $M,N$ cố định, $D$ chuyển động.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Nguyen Van Linh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 11:52 AM   #8
Conanvn
+Thành Viên+
 
Conanvn's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2012
Đến từ: THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu, AG
Bài gởi: 188
Thanks: 190
Thanked 80 Times in 55 Posts
Ax, câu b đề đâu có nói $\delta$ cố định đâu Cứ tưởng là nó di động giống câu a.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Chuyến tàu đã dừng lại.
Conanvn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 11:52 AM   #9
liverpool29
+Thành Viên+
 
liverpool29's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Đến từ: hue
Bài gởi: 348
Thanks: 425
Thanked 560 Times in 237 Posts
Lúc đầu em tưởng $M,N$ cố định, nhưng đọc đề lại thì $M,N$ thay đổi, $D$ cố định, khi đó $P$ thuộc 1 đường tròn có bán kính bằng bán kính tam giác $ABC$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
LIFE HAS SENT TO US A MIRACLE, IT'S GEOMETRY

"Don't try your best. Do your best."
liverpool29 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 11:57 AM   #10
Nguyen Van Linh
Moderator
 
Tham gia ngày: Aug 2009
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 277
Thanks: 69
Thanked 323 Times in 145 Posts
Không phải. D cố định thì làm gì có đường tròn nào. Phải cho $\Delta$ cố định. Đề như thế này là chưa chặt chẽ rồi. Ý kiến đi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Nguyen Van Linh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 12:14 PM   #11
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi LTL View Post
Không phải. D cố định thì làm gì có đường tròn nào. Phải cho $\Delta$ cố định. Đề như thế này là chưa chặt chẽ rồi. Ý kiến đi
Đề không cho $D$ thay đổi mà chỉ cho $\Delta$ thay đổi mà Linh Khi đó $P$ di động trên đường tròn bán kính $AO$, tâm đối xứng với $D$ qua trung điểm $AO$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to novae For This Useful Post:
minhtuyb (12-01-2013), tangchauphong (12-01-2013), tqdungt1k20 (12-01-2013)
Old 12-01-2013, 12:15 PM   #12
soros_fighter
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: THPT chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 217
Thanks: 126
Thanked 113 Times in 88 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới soros_fighter
Trích:
Nguyên văn bởi LTL View Post
Không phải. D cố định thì làm gì có đường tròn nào. Phải cho $\Delta$ cố định. Đề như thế này là chưa chặt chẽ rồi. Ý kiến đi
D cố định còn $\delta$ thay đổi. Lấy E đối xứng D qua O
Lấy I đối xứng O qua AE
P thuộc đường tròn (I;R)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
YOU'LL NEVER WALK ALONE
soros_fighter is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 12:16 PM   #13
kien10a1
+Thành Viên+
 
kien10a1's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc
Bài gởi: 371
Thanks: 43
Thanked 263 Times in 153 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới kien10a1
Vâng, anh LTL có thể thấy, nếu đường thẳng đó cố định, D di chuyển- bài toán quá dễ.
Giờ ta sẽ cm là D cố định, đường thẳng thay đổi thì P di chuyển trên đường tròn.
có thể thấy ngay P thuộc vào đường tròn tâm A, bán kính AM.
Và như vậy, ta có một cách phát biểu đơn giản Cho đường tròn $(O_1) $( chính là (ABH)) và điểm A trên đó. Một đường thẳng $d_3 $ cố định( chính là BD)
Xét đường tròn $w $ tâm A bán kính bất kì, nó cắt $(O_1) $ tại hai điểm, lấy một điểm là M. P là giao của đt qua M, vuông góc $d_3 $ cắt lại $w $ tại P, chứng minh P thuộc đường tròn cố định.
Đến đây thì rất đơn giản rồi. Thấy ngay rằng đường thẳng qua A, song song BD chính là trục đối xứng của các đoạn PM. Lấy $M_1,M_2 $ cố định được $P_1P_2 $ cố định.
Khi đó, nhờ tính đối xứng $\widehat{P_1PP_2}=\widehat{M_1MM_2}=\widehat{M_1AM _2} $ không đổi
suy ra điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Quay về với nơi bắt đầu
kien10a1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to kien10a1 For This Useful Post:
hungvu (12-01-2013), tangchauphong (12-01-2013), toan1215.thpt (12-01-2013)
Old 12-01-2013, 12:24 PM   #14
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi High high View Post
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứ điểm $A$. Đường thẳng $\vartriangle $ thay đổi đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác $ABH, ACH$ tại $M,N$ ($M,N$ khác $H$)
a)Xác định vị trí của đường thẳng $\vartriangle $ để diện tích tam giác $AMN$ lớn nhất
b)Kí hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc $DB, d_2$ là đường thẳng qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1$ và $d_2$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định
b. Gọi $F$ là giao điểm của đường thẳng qua $A$ song song $BD$ với $(ABH)$, $G$ là giao điểm của đường thẳng qua $A$ song song $CD$ với $(ACH)$.

Dễ thấy rằng $P$ đối xứng với $M$ qua $AF$, đối xứng với $N$ qua $AG$. Lại có
$$ (FM,FA) \equiv (HM,HA) \equiv (HN,HA) \equiv (GN,GA) \pmod{\pi}. $$
Suy ra $(FM,FP) \equiv (GN,GP) \pmod{\pi}$. Do đó $(PF,PG) \equiv (PM,PN) \equiv (AF,AG) \pmod{\pi}$.

Vì vậy $P \in (AFG)$ cố định.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to novae For This Useful Post:
congbang_dhsp (15-01-2013)
Old 12-01-2013, 12:34 PM   #15
Nguyen Van Linh
Moderator
 
Tham gia ngày: Aug 2009
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 277
Thanks: 69
Thanked 323 Times in 145 Posts
Uh chuẩn rồi. Không đọc kĩ đúng là tù vãi chày. Thank thím Minh đã chỉ giáo
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Nguyen Van Linh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:48 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 103.50 k/119.58 k (13.44%)]