Bài Số Học VMO 2018

[kenzie]

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0=2,x_1=1$ và $$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\left ( n\geq 0 \right ).$$

1. Với $n\geq 1$, chứng minh rằng nếu $x_n$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ.
2. Tìm các cặp số nguyên không âm $(m,n)$ sao cho $x_n$ chia hết cho $x_m$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Thụy An]

Nguyên văn bởi kenzie

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0=2,x_1=1$ và $$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\left ( n\geq 0 \right ).$$

1. Với $n\geq 1$, chứng minh rằng nếu $x_n$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ.
2. Tìm các cặp số nguyên không âm $(m,n)$ sao cho $x_n$ chia hết cho $x_m$.

Tất cả gói gọn trong công thức sau
\[{x_{m + n}} = {x_m}{x_n} + {\left( { - 1} \right)^{n+1}}{x_{m - n}}\quad\forall\,m;\,n\in\mathbb Z^+, m\ge n\;(*).\]
a-Với $n>2k$, ta có
\[{x_n} = {x_{n - k}}{x_k} + {\left( { - 1} \right)^{k+1}}{x_{n - 2k}} \equiv {\left( { - 1} \right)^{k+1}}{x_{n - 2k}}\pmod{x_k}.\]
Từ đây nếu $n=kp$, trong đó $p\in\mathcal P\setminus\{2\}$ và $k>1$ thì
\[{x_n} \equiv {\left( { - 1} \right)^{\frac{{(p - 1)(k+1)}}{2}}}{x_k} \equiv 0\pmod{x_k}.\]
Vì dãy tăng ngặt trên $\mathbb Z^+$ nên $x_k>x_1=1$ và $x_n>x_k$, cho nên $x_n$ không là số nguyên tố.

Vậy nếu $x_n$ là số nguyên tố, thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ.

b-Nếu $m=0$, dễ thấy để $x_m\mid x_n$ thì $3\mid n$, còn $m=1$ thì mọi $n$ đều thoả. Ta xét với $m>1$, khi đó viết phép chia
\[n = qm + r.\]
Ta xét các trường hợp sau:

1. Nếu $q=0$, thì do dãy tăng ngặt trên $\mathbb Z^+$ nên $1\le x_r<x_m$ nên không thoả.
2. Nếu $q$ chẵn, từ $(*)$ ta có
   \[{x_n} \equiv {\left( { - 1} \right)^{\frac{{q(m+1)}}{2}}}{x_r}\pmod{x_m}\]
   Cho nên không thể có $x_m\mid x_n$, bởi nếu không phải có $x_n\mid x_r$ mà $1\le x_r<x_n$.
3. Nếu $q$ lẻ, từ $(*)$ ta lại có
   \[{x_n} \equiv {\left( { - 1} \right)^{\frac{{\left( {q - 1} \right){(m+1)}}}{2}}}{x_{m + r}}.\]
   Cho nên để $x_m\mid x_n$ thì $x_m\mid x_{m+r}$.
   • Nếu $r>0$, lại để ý đẳng thức
     \[{x_{m + r}} = {x_{2m + r - m}} = {x_r}{x_m} - {\left( { - 1} \right)^r}{x_{m - r}}.\]
     Vậy nếu $x_m\mid x_n$ thì $x_m\mid x_{m-r}$, nhưng điều này là không thể do dãy tăng ngặt trên $\mathbb Z^+$.
   • Nếu $r=0$, tức $n$ là bội lẻ của $m$ thì rõ ràng $x_n\mid x_m$.

Tóm lại, các cặp thoả mãn là $(0;\,3k)$, $(1;\,n)$ và $(m;\,(2k+1)m)$ với $m\in\mathbb Z^+\setminus\{1\},\,n;\,k\in\mathbb N$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vnt.hnue]

Sử dụng tính chất của số Lucas : $x_{n}|x_{mn}$, với m lẻ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Thụy An]

Nguyên văn bởi vnt.hnue

Cả 2 câu được suy ra trực tiếp từ tính chất của dãy Lucas :
$$x_{n}|x_{mn}$$

Không ngây thơ thế đâu $x_2=3;\,x_3=4;\,x_4=7;\,x_5=11$ và $x_6=18$ mà em
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tmp]

Vậy thì giải pt sai phân xem thử sao?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaygiaocht]

Nguyên văn bởi kenzie

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0=2,x_1=1$ và $$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}\left ( n\geq 0 \right ).$$

1. Với $n\geq 1$, chứng minh rằng nếu $x_n$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ.
2. Tìm các cặp số nguyên không âm $(m,n)$ sao cho $x_n$ chia hết cho $x_m$.

Có thể tiếp cận 6 theo kiểu đại số

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Thụy An]

Nguyên văn bởi thaygiaocht

Có thể tiếp cận 6 theo kiểu đại số

[Only registered and activated users can see links. ]
[Only registered and activated users can see links. ]

Lời giải của cu Luật, chưa xử lý được vấn đề cơ bản sau: Nếu $n$ không chia hết cho $m$, thì liệu $x_n$ có thể là bội số của $x_m$ hay không?

PS. Mà trình bày nhọ quá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaygiaocht]

Nguyên văn bởi Thụy An

Nếu $n$ không chia hết cho $m$, thì liệu $x_n$ có thể là bội số của $x_m$ hay không?

Đúng rồi chỗ đó thiếu, em đã bổ sung (tư tưởng vẫn là biểu diễn $n=km+r$ theo 2 cách).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]