Hướng tới kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO 2012

[king_math96]

Nguyên văn bởi 5434

Bài 39 CHo các số dương a,b,c,d thoả $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4 $
Chứng minh rằng $\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^3+a^3}{2}} \leq 2(a+b+c+d-2) $

Ta chứng minh đánh giá:
$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}} \leq \frac{a^2+b^2}{a+b}. $
Tương đương với: $(a+b)^3(a^3+b^3) \leq 2(a^2+b^2)^3. $
hay $(a-b)^4(a^2+ab+b^2) \geq 0. $
Do đó ta cần chứng minh:
$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+ d^2}{c+d}+\frac{d^2+a^2}{d+a} \leq 2(a+b+c+d-2) $
Chú ý: $\frac{a^2+b^2}{a+b}=a+b-\frac{2ab}{a+b}. $ Nên ta cần chứng minh:
$2 \leq \frac{ab}{a+b}+\frac{cb}{c+b}+\frac{cd}{c+d}+\frac {ad}{a+d} $
Mà theo Cauchy Schwarz ta có:
$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1 }{c}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d} }
+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{d}} \geq 2. $
Suy ra Q.E.D!

Bài này là của Ba Lan hay sao ấy, mình không nhớ rõ.

Thi HSG khối 10 chuyên KHTN cách đây 3 năm!

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Bài 42. Trong một nhóm 12 người giữa 9 người bất kỳ có 5 người đôi một quen nhau. Chứng minh rằng trong nhóm này có 6 người đôi một quen nhau.

Bài 43. Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1 sao cho $2^n + 1 $ chia hết cho n. Gọi p là một ước nguyên tố của n. Chứng minh rằng nếu $p \ne 3 $ và $p \ne 19 $ thì $p \ge 163 $.
------------------------------

Nguyên văn bởi Mr Stoke

Đang cần tĩnh dưỡng mà post bài nhiệt tình thế bạn ơi. Mấy bài này có vẻ câu b) không có ý nghĩa lắm vì độ tăng của $5^m+3^m $ "khỏe" hơn rất nhiều so với $m^2-1 $. Tuy nhiên, câu (a) bài này khá hay. MS cũng tò mò xem có bạn nào giải được bài này không? Theo trí nhớ của MS thì tác giả bài này là harazi (Gabriel Dospinescu), và đã từng post trên ML cách đây mấy năm.

Đề của macdangnghi câu a) Tìm m sao cho $m^2 - 1 $ là ước của $5^m + 3^m $ và câu b) Tìm m sao cho $5^m + 3^m $ chia hết cho $m^2 - 1 $ thực ra là 1. Vì a là ước của b tương đương với b chia hết cho a.

Bài này như bình luận trên 1 trang web thì vẫn là bài toán mở, chưa có ai giải được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nghiepdu-socap]

Nguyên văn bởi namdung

Bài 42. Trong một nhóm 12 người giữa 9 người bất kỳ có 5 người đôi một quen nhau. Chứng minh rằng trong nhóm này có 6 người đôi một quen nhau.

Bài này là cách phát biểu khác của bài 8 đề thi khối 10 Russian MO 1999.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quykhtn]

Nguyên văn bởi Win-DungDan

Tôi thấy có bài BDT rất khó của bạn Cẩn trên mathlinks xin đưa cùng các bạn trải nghiệm:
Bài 12: Cho các số thực dương sao cho a+b+c = 1 . Chứng minh rằng:
$\[\frac{36}{{{a}^{2}}b\text{+}{{b}^{2}}c\text{+}{{c} ^{2}}a}\text{+}\frac{1}{abc}\ge 343\] $ .

Hôm nay có thời gian ngồi gõ lại bài này.Mọi người thử kiểm tra xem có đúng không

Đặt $ ab+bc+ca=q $ và $ abc=r $,chúng ta có kết quả sau:
$$ (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2=q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2. $$

Từ đó: $$ a^2b+b^2c+c^2a \le \frac{q-3r+\sqrt{q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2}}{2} .$$

Bài toán quy về chứng minh:
$$ \frac{1}{r}+\frac{72}{q-3r+\sqrt{q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2}} \ge 343. $$
- Nếu $ r \le \frac{1}{343} $ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
- Nếu $ \frac{1}{343} <r\le \frac{1}{27} $ thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$ \left(\frac{1029r^2+69r}{343r-1}-q \right)^2-(q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2) \ge 0. $$
Hay là $$ 4q^3-\frac{24r(343r+5)}{343r-1} q +4r+27r^2+\left(\frac{1029r^2+69r}{343r-1}\right)^2 \ge 0. $$
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM có:
$$ 4q^3+8 \sqrt{\left(\frac{2r(343r+5)}{343r-1}\right)^3} \ge \frac{24r(343r+5)}{343r-1} q. $$
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh:
$$ 4+27r+\frac{r(69+1029r)^2}{(343r-1)^2} \ge 8 \sqrt{\frac{8r(343r+5)^3}{(343r-1)^3}}. $$
Hay là $$ 1+\frac{9r((343r+5)^2+108)}{(343r-1)^2} \ge 2\sqrt{\frac{8r(343r+5)^3}{(343r-1)^3}}. $$
Đặt $\frac{343r+5}{343r-1}=t $,thế thì: $ r=\frac{t+5}{343(t-1)} $ và $ t =1+\frac{6}{343r-1} \ge 1+\frac{6}{\frac{343}{27}-1} > \frac{3}{2} $.
Thế vào,ta cần chứng minh:
$$ 1+\frac{9(t+5)(4t^2-6t+3)}{343(t-1)} \ge 2\sqrt{\frac{8t^3(t+5)}{343(t-1)}} $$
Hay là $$ 18t^3+63t^2+50t-104 \ge 7\sqrt{56t^3(t-1)(t+5)} $$.
Bình phương 2 vế và phân tích thành nhân tử ta có viết dưới dạng:
$$ (t-2)^2(324t^4+820t^3-3223t^2+104t+2704) \ge 0 $$.
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng với $ t >\frac{3}{2} $.
Đẳng thức xảy ra khi $ t=2 $,tức là: $ r=\frac{1}{49}$ và $ q=\frac{2}{7} $
Hay $ \left(a,b,c\right) =\left(\frac{4}{7}\sin^2 \frac{4\pi}{7};\frac{4}{7}\sin^2 \frac{2\pi}{7};\frac{4}{7}\sin^2 \frac{\pi}{7}\right) $ và các hoán vị.
Bài toán được chứng minh xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vnmo]

Thấy mọi người ai cũng đưa bài lên chứ ít cựu TSTer đưa ra mấy lời khuyên để các em có tâm lý mần bài tốt. Mình xin đưa ra bài học mà mình rút ra được:
-Phải luôn tự tin. Vì đây là cuộc thi chọn người đi thi quốc tế nên nhiều người thi với tâm lý sợ sệt. Mình cũng từng thế, đi thi mà chưa bao h dám nghĩ đến chuyện được vào top 6. Thực tế thì 42 người vào đến vòng này đều ngang ngửa nhau về khả năng cũng như cơ hội. Tất cả đều giỏi và bạn nằm trong số đó. Thêm nữa những năm gần đây thì những bạn lọt qua vòng này có nhiều người đến từ các tỉnh "mới" trong phong trào học toán như Hà Tĩnh, Quảng Bình, Bình Phước hay Bắc Ninh, Quảng Ninh. Hãy cố gắng tới giây phút cuối cùng. Đừng đặt nặng tâm lý phải giải 4 bài, 5 bài hay hơn thế nữa. Với TST đôi khi giải trọn vẹn 3 bài đã đủ vào top 6. Tổ hợp là phần khó nhưng nếu ai khá về hình học, BĐT, biết một ít định lý chia hết, thặng dư của số cũng có khả năng làm được trọn vẹn 3 bài cơ mà. Đừng gục ngã trên bàn thi bạn nhé. Năm 2009, thậm chí mình còn rất nản khi giải bài hình vòng 2 kể cả khi hai ngày đã làm được hai bài rồi. Năm ấy giải được ba bài là cầm chắc vào top 6.
Chúc mọi người ôn tập và thi hết sức mình
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Kinh nghiệm thi TST là phải làm được những bài dễ. Và đã làm được thì trình bày cho chắc. Thống kê các kỳ TST cho thầy, trừ một vài năm cá biệt, còn lại là chỉ cần làm 3-4 bài chắc ăn là có suất đội tuyển. Chú ý là khó người khó ta, dễ ta dễ người. Do đó thấy đề khó đừng vội nản, thấy đề dễ đừng ỷ y.

Một trong những kinh nghiệm quý giá nữa là hãy cố gắng kiếm điểm thành phần, tức là giải được một phần của bài toán.

Chú ý trình bày cho súc tích, chặt chẽ, có kết luận đầy đủ. Nên nhớ rằng trong 42 bạn, sẽ có nhiều bạn làm bài giống ta, và hơn nhau lúc này là ai chặt chẽ hơn.

Khi học ôn, đừng quá chú trọng 1 phần nào đó quá, đến khi thi không có dễ bị hụt hẫng, ảnh hưởng tâm lý. Hãy chuẩn bị tư tưởng là chúng ta sẽ gặp 6 bài toán hoàn toàn mới, và chúng ta đã sẵn sàng để đối mặt với những khó khăn mà các bài toán đặt ra.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Bài 44 : tìm n nhỏ nhất sao cho tồn tại $f : Z \rightarrow [0, +\propto) $ thỏa
$f(xy)=f(x)f(y) $
$2f(x^2+y^2)-f(x)-f(y) $ nhận một trong các giá trị {0,1,...n} với mọi x,y nguyên.
Với n đó tìm f.

f(x) khác hằng

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hien123]

Nguyên văn bởi 5434

Bài 44 : tìm n nhỏ nhất sao cho tồn tại $f : Z \rightarrow [0, +\propto) $ thỏa
$f(xy)=f(x)f(y) $
$2f(x^2+y^2)-f(x)-f(y) $ nhận một trong các giá trị {0,1,...n} với mọi x,y nguyên.
Với n đó tìm f.

f(x) khác hằng

Đáp án: n = 1.
Đặt A là tập các số nguyên tố có dạng 4k+3, ứng với mỗi p thuộc A thì hàm của ta xác định như sau:
$f(x)=0 $ nếu x chia hết cho p và $f(x)=1 $ nếu x không chia hết cho p
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Thiếu rồi. không nhanh thế đâu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cleverboy]

1. (Trung bình khó) Cho các số thực dương $a, b, c $ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3. $ Chứng minh $(2-ab)(2-bc)(2-ca)\geq1 $
Em xin hỏi thầy namdung và các bạn có lời giải khác không sử dụng pqr cho bài toán bất đẳng thức đầu tiên không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]