|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
05-10-2011, 02:14 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2011 Bài gởi: 2 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | Một số bài tập về đa tạp khả vi Bài 1: Gỉa sử P2 là mặt phẳng xạ ảnh thực 2-chiều. Hãy chỉ ra hai bản đồ phù hợp của P2. Bài 2: Gỉa sử Gl(n,R) là tập hợp tất cả các ma trận vuông, thực cấp n không suy biến. a) Chứng minh Gl(n,R) là một đa tạp. Gl(n,R) có liên thông không? Tại sao? b) Hãy chỉ ra một vecto tiếp xúc với Gl(n,R) tại I, I là ma trận đơn vị. |
05-10-2011, 05:27 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts | Bài 1 : Dùng định nghĩa của đa tạp Bài 2 : a. Bạn xét hàm định thức từ $GL \to \mathbb{R} $, đây là hàm liên tục và sử dụng nhận xét là hàm liên tục biến tập liên thông thành liên thông. GL(n, R) là đa tạp với một lý do rất hiển nhiên, bạn có thể suy từ hàm định thức. b. Bạn áp dụng định nghĩa vector tiếp xúc là ra thôi. Lấy một đường cong khả vi $c\colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to GL(n,\mathbb{R}) $ thỏa mãn $c(0) = I $, khi đó vector $\dot{c}(0) $ là vector tiếp xúc tại I của $GL(n,\mathbb{R}) $. |
05-10-2011, 07:50 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2011 Bài gởi: 2 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | B1: Tất nhiên là mình biết là dùng định nghĩa đa tạp rùi, nhưng bạn có thể chỉ cho mình 1 bản đồ trên P2 được không? Vì thực sự mình không rành hình xạ ảnh lắm, trên hình cầu, elip thì xong tuốt tuồn tuột dưng mà sao đến chỗ ni lại bí rì rị thế? Có lẽ là mình không tưởng tượng tốt lắm. |
05-10-2011, 11:08 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts | Ừ, ví dụ hai bản đồ trên $\mathbb{P}^2 $ là $U_0 = \{[z_0\colon z_1] ~:~ z_0\neq 0\} $ và $U_1 = \{[z_0\colon z_1] ~:~ z_1\neq 0\} $ |
01-11-2011, 07:45 PM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2011 Bài gởi: 1 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | |
01-11-2011, 08:01 PM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts | Rất đơn giản : $[z_0\colon z_1]\in U_0 \mapsto \frac{z_1}{z_0}\in \mathbb{R} $ |
06-11-2011, 02:35 PM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2010 Bài gởi: 96 Thanks: 10 Thanked 37 Times in 22 Posts | Keke, mình sẽ nuôi thread này, vì đây là chủ đề hay. Tất cả các bài đưa lên đều là những bài tôi chưa có lời giải. Bài 3: Chứng minh nếu M là n-đa tạp compact thì mọi ánh xạ trơn $f: M \mapsto R^n $ đều có điểm tới hạn. Bài 4: Cho M, N là 2 đa tạp. Đặt $Pr_1: M\times N \mapsto M $ và $Pr_2: M\times N \mapsto N $ là 2 phép chiếu. Cm $\forall (x,y) \in M\times N $ ta luôn có $(dPr_1, dPr_2): T_{(x,y)}M\times N \mapsto T_{x}M \times T_{y}M $ là một đẳng cấu. __________________ Đang học xác suất thay đổi nội dung bởi: 99, 06-11-2011 lúc 05:25 PM Lý do: đổi lại số bài |
06-11-2011, 05:33 PM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts | Bài 3 thì chỉ cần xét một hàm tọa độ $f_1 $ của $f $. Do $M $ compact nên $f_1 $ có điểm tới hạn, và điểm đó thỏa mãn tất cả các đạo hàm riêng tại đó của $f_1 $ triệt tiêu. Khi đó ma trận Jacobi của $f $ tại điểm đó là ma trận $n\times n $ có một hàng = 0. Vì vậy điểm tới hạn đó là điểm tới hạn của ánh xạ $f $. |
06-11-2011, 09:32 PM | #9 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts | Em có bài tập này hay : Bài 5: Cho $M $ là $C^r $-đa tạp với $r\geq 1 $, $A\subset M $ là tập con liên thông. Giả sử có phép co rút $f\colon M\to A $ lớp $C^r $, tức là ánh xạ $f\colon M\to M $ lớp $C^r $ thỏa mãn $f|A = 1_A $ và $f(M) = A $. Chứng minh rằng $A $ là $C^r- $đa tạp con của $M $. |
07-11-2011, 05:49 PM | #10 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2010 Bài gởi: 96 Thanks: 10 Thanked 37 Times in 22 Posts | Trích:
1- Nếu $r(f)_x = k = constant $ trong 1 lân cận của $x $ thì tồn tại một bản đồ địa phương $h $ của $x $ và một bản đồ $h' $ của$ y=f(x) $ sao cho: $h'.f.h^{-1}: (x_1, ..., x_n) \mapsto (x_1, ..., x_k, 0, ..., 0) $ (đây là 1 dạng tương đương của đl hàm ngược)2- $r(f) $ là hàm nửa liên tục trên theo $x $, tức là với mỗi $x $ tồn tại 1 lân cận $U $ của $x $ sao cho $r(f)_{x'} \ge r(f)_x \ \forall x' \in U $. -----------------------------------Vì cm không hề ngắn và phải gõ rất nhiều công thức nên chỉ nêu ý tưởng: Sử dụng tính chất 2 và giả thiết của đề bài (co rút + liên thông) ta chứng minh được $r(f) $ phải là hằng số trên một lân cận của A, đặt$r(f) = k $. Sau đó áp dụng tính chất 1 ta có điều phải chứng minh bằng cách chỉ ra A là đa tạp con theo đúng định nghĩa của đa tạp con. Nó có chiều bằng k. PS: Nói chung bài này ko dễ, và lời giải này là mình sưu tầm được __________________ Đang học xác suất thay đổi nội dung bởi: Mít đặc, 07-11-2011 lúc 10:45 PM Lý do: t/c 1 phát biểu thiếu | |
07-11-2011, 10:11 PM | #11 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts | Vâng ạ, bài ý không dễ, nhưng mà em thấy nó hay nên em gửi thôi. Em cũng không nghĩ ra được lời giải. Ít ra qua bài ý, ta học được vài kỹ thuật và kiến thức cũ (định lý hạng hằng = tổng quát cho cả định lý hàm ẩn và hàm ngược). |
Bookmarks |
|
|