Bất đẳng thức IMO 2001!

[2424]

Cho $a,b,c>0 $ cmr
$\frac{a}{ \sqrt{a^2+8bc}}+ \frac{b}{ \sqrt{b^2+8ca}}+ \frac{c}{ \sqrt{c^2+8ab}} \geq 1 $
Mình có lời giải hay,không dùng Cauchy-schwarzt,Holder hay đánh giá đại diện!
ai có lời giải mới thì post lên nhe!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[franciscokison]

bài này có rất nhiều cách ví dụ như đổi biến hoặc chuẩn hóa rồi xét hàm nói chung đều hay cả
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[iqtimo]

Nguyên văn bởi 2424

Cho $a,b,c>0 $ cmr
$\frac{a}{ \sqrt{a^2+8bc}}+ \frac{b}{ \sqrt{b^2+8ca}}+ \frac{c}{ \sqrt{c^2+8ab}} \geq 1 $
Mình có lời giải hay,không dùng Cauchy-schwarzt,Holder hay đánh giá đại diện!
ai có lời giải mới thì post lên nhe!

Chứng minh bổ đề :
$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+ 8bc}}\geq \frac{{a}^{\frac{4}{3}}}{{a}^{\frac{4}{3}}+ {b}^{\frac{4}{3}}+{c}^{\frac{4}{3}}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[study_more_91]

Nguyên văn bởi iqtimo

Chứng minh bổ đề :
$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+ 8bc}}\geq \frac{{a}^{\frac{4}{3}}}{{a}^{\frac{4}{3}}+ {b}^{\frac{4}{3}}+{c}^{\frac{4}{3}}}(*) $

Đặt: $a^{\frac{1}{3}}=A, b^{\frac{1}{3}}=B, c^{\frac{1}{3}}=C, $

$A,B,C>0 $


Biến đổi tương đương
$(*) <=>A^6B^8 + A^6C^8 +2A^{10}B^4 +2A^{10}C^4 +2A^6B^4C^4 \geq 8A^8B^3C^3 ,(1) $

Ta có: $A^6B^8 +A^6C^8 \geq 2A^6B^4C^4 $

$2A^{10}B^4 +2A^{10}C^4 \geq 4A^{10}B^2C^2 $

$=> VT(1) \geq 4A^6B^4C^4 + 4A^{10}B^2C^2 \geq 8A^8B^3C^3=VP(1) $

DONE!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Soanltk]

Bài này có thể có rất nhiều cách làm lắm.Có thể tham khảo trên Báo toán học và tuổi trẻ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[2424]

Những lời giải trên của các bạn không phải là lời giải mà mình cần nói tới.
Mình đã nói là có lời giải khác cách dùng Cauchy-shwarzt,Holder hay đánh giá đại diện thì post lên còn vẫn giải theo những cách đó thì post lên làm gì!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[8826]

Đặt $x=\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}; y=....; z=.... $
thì ta có
$\frac{1}{x^2}-1=\frac{8bc}{a^2} $
$\frac{1}{y^2}-1=\frac{8ca}{b^2} $
$\frac{1}{z^2}-1=\frac{8ab}{c^2} $
Suy ra $(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)=8^3 $ (1)
Giả sử S=x+y+z<1 thì
$(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)>(\frac{S^2}{x^2}-1)(\frac{S^2}{y^2}-1)(\frac{S^2}{z^2}-1) $ (2)
Mặt khác ta sẽ chứng minh
$(\frac{S^2}{x^2}-1)(\frac{S^2}{y^2}-1)(\frac{S^2}{z^2}-1) \geq 8^3 $(3)
Thật vậy ta có
$(S-x)(S-y)(S-z)=(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8xyz (AM-GM) $ (4)
$(S+x)(S+y)(S+z)=((x+y)+(y+z))(...)(....) \geq 8(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8^2(xyz) $(5)
Nhân từng vế (4) và (5) ta thu đc (3)
Từ (2) và (3) suy ra
$(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)>8^3 $ mâu thuẫn với (1)
Vậy điều giả sử là sai và ta có $S \geq 1 $(đpcm)
PS: cách giải này mình đọc đc, thấy hay nên post cho mọi người tham khảo
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[2424]

Nguyên văn bởi 8826

Đặt $x=\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}; y=....; z=.... $
thì ta có
$\frac{1}{x^2}-1=\frac{8bc}{a^2} $
$\frac{1}{y^2}-1=\frac{8ca}{b^2} $
$\frac{1}{z^2}-1=\frac{8ab}{c^2} $
Suy ra $(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)=8^3 $ (1)
Giả sử S=x+y+z<1 thì
$(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)>(\frac{S^2}{x^2}-1)(\frac{S^2}{y^2}-1)(\frac{S^2}{z^2}-1) $ (2)
Mặt khác ta sẽ chứng minh
$(\frac{S^2}{x^2}-1)(\frac{S^2}{y^2}-1)(\frac{S^2}{z^2}-1) \geq 8^3 $(3)
Thật vậy ta có
$(S-x)(S-y)(S-z)=(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8xyz (AM-GM) $ (4)
$(S+x)(S+y)(S+z)=((x+y)+(y+z))(...)(....) \geq 8(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8^2(xyz) $(5)
Nhân từng vế (4) và (5) ta thu đc (3)
Từ (2) và (3) suy ra
$(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)>8^3 $ mâu thuẫn với (1)
Vậy điều giả sử là sai và ta có $S \geq 1 $(đpcm)
PS: cách giải này mình đọc đc, thấy hay nên post cho mọi người tham khảo

Lời giải trên khá đẹp!Các bạn cũng có thể tham khảo thêm lời giải sau:
Đặt $x^3= \frac{bc}{a^2} ,... $
$P= \sum \frac{1}{ \sqrt{8x^3+1}} $
Áp dụng bdt Cauchy cho các số thực dương ta có
$\sqrt{8x^3+1} = \sqrt{(2x+1)(4x^2-2x+1)} \leq 2x^2+1 $
Việc còn lại là cm $\sum \frac{1}{2m+1} \geq 1 (m,n,p>0; mnp=1) $
bdt cuối rất dễ và quen thuộc!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nbkschool]

Lời giải của bạn rất giống lời giải của mình post trên ML:
[Only registered and activated users can see links. ]
(bài post cuối)
Coi bộ ý tưởng nhỏ gặp nhau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TYQ]

Nguyên văn bởi 2424

Lời giải trên khá đẹp!Các bạn cũng có thể tham khảo thêm lời giải sau:
Đặt $x^3= \frac{bc}{a^2} ,... $
$P= \sum \frac{1}{ \sqrt{8x^3+1}} $
Áp dụng bdt Cauchy cho các số thực dương ta có
$\sqrt{8x^3+1} = \sqrt{(2x+1)(4x^2-2x+1)} \leq 2x^2+1 $
Việc còn lại là cm $\sum \frac{1}{2m+1} \geq 1 (m,n,p>0; mnp=1) $
bdt cuối rất dễ và quen thuộc!

việc còn lại là chứng minh [TEX]\sum \frac{1}{2m^2+1}\geq 1 mà
nêu cách giải cho em với được không ạ,.. quen thuộc nhưng cũng khó
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi TYQ

việc còn lại là chứng minh [TEX]\sum \frac{1}{2m^2+1}\geq 1 mà
nêu cách giải cho em với được không ạ,.. quen thuộc nhưng cũng khó

BĐT cần chứng minh là: Cho $mnp=1$, chứng minh $$\dfrac{1}{2m+1}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2p+1} \ge 1.$$

Quy đồng, khai triển và rút gọn, ta có:
$$1+m+n+p \ge 4mnp \text{ hay } m+n+p \ge 3.$$ Bất đẳng thức cuối đúng theo AM-GM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]